Hoe de hoeksnelheid te berekenen?

In het dagelijkse discours worden "snelheid" en "snelheid" vaak door elkaar gebruikt. In de natuurkunde hebben deze termen echter specifieke en verschillende betekenissen. "Snelheid" is de verplaatsingssnelheid van een object in de ruimte en wordt alleen gegeven door een getal met specifieke eenheden (vaak in meter per seconde of mijl per uur). Snelheid daarentegen is een snelheid die aan een richting is gekoppeld. Snelheid wordt dan een scalaire grootheid genoemd, terwijl snelheid een vectorgrootheid is.

Wanneer een auto over een snelweg raast of een honkbal door de lucht suist, wordt de snelheid van deze objecten gemeten ten opzichte van de grond, terwijl de snelheid meer informatie bevat. Als u bijvoorbeeld in een auto zit met een snelheid van 70 mijl per uur op de Interstate 95 aan de oostkust van de Verenigde Staten, is het ook handig om te weten of het noordoostelijk richting Boston of zuidwaarts richting Boston gaat Florida. Bij honkbal wil je misschien weten of de y-coördinaat sneller verandert dan de x-coördinaat (een vliegende bal) of dat het omgekeerde waar is (een line drive). Maar hoe zit het met het spinnen van de banden of de rotatie (spin) van het honkbal terwijl de auto en de bal naar hun uiteindelijke bestemming gaan? Voor dit soort vragen biedt de natuurkunde het concept van:

Dingen bewegen op twee manieren door de driedimensionale fysieke ruimte: translatie en rotatie. Vertaling is de verplaatsing van het hele object van de ene locatie naar de andere, zoals een auto die van New York City naar Los Angeles rijdt. Rotatie daarentegen is de cyclische beweging van een object rond een vast punt. Veel objecten, zoals de honkbal in het bovenstaande voorbeeld, vertonen beide soorten beweging tegelijkertijd; als een vangbal door de lucht van de thuisplaat naar de omheining van het buitenveld bewoog, draait hij ook met een bepaalde snelheid rond zijn eigen centrum.

Het beschrijven van deze twee soorten beweging wordt behandeld als afzonderlijke natuurkundige problemen; dat wil zeggen, bij het berekenen van de afstand die de bal door de lucht aflegt op basis van zaken als de initiële lanceringshoek en de snelheid waarmee het verlaat de vleermuis, je kunt zijn rotatie negeren, en bij het berekenen van zijn rotatie kun je het behandelen alsof het op één plaats zit voor het heden doeleinden.

Ten eerste, als je het hebt over "hoekig" iets, of het nu gaat om snelheid of een andere fysieke grootheid, erken dat, omdat je met hoeken te maken hebt, je het hebt over reizen in cirkels of delen daarvan. Je herinnert je misschien uit geometrie of trigonometrie dat de omtrek van een cirkel zijn diameter maal de constante pi is, ofd. (De waarde van pi is ongeveer 3,14159.) Dit wordt vaker uitgedrukt in termen van de straal van de cirkelr, wat de helft van de diameter is, waardoor de omtrek wordt gemaakt2πr​.

Daarnaast heb je waarschijnlijk ergens onderweg geleerd dat een cirkel uit 360 graden (360°) bestaat. Als je een afstand S langs een cirkel verplaatst, dan is de hoekverplaatsing θ gelijk aan S/r. Een volledige omwenteling geeft dan 2πr/r, wat net 2π overhoudt. Dat betekent dat hoeken kleiner dan 360° kunnen worden uitgedrukt in termen van pi, of met andere woorden, als radialen.

Door al deze stukjes informatie samen te nemen, kun je hoeken of delen van een cirkel uitdrukken in andere eenheden dan graden:

Terwijl lineaire snelheid wordt uitgedrukt in lengte per tijdseenheid, wordt hoeksnelheid gemeten in radialen per tijdseenheid, meestal per seconde.

Als je weet dat een deeltje met een snelheid in een cirkelvormige baan beweegtvop een afstandrvanuit het middelpunt van de cirkel, met de richting vanvaltijd loodrecht op de straal van de cirkel staat, dan kan de hoeksnelheid worden geschreven

waarωis de Griekse letter omega. Hoeksnelheidseenheden zijn radialen per seconde; je kunt deze eenheid ook behandelen als "wederkerige seconden", omdat v/r m/s oplevert gedeeld door m, of s^-1, wat betekent dat radialen technisch gezien een eenheidsloze hoeveelheid zijn.

De formule voor hoekversnelling wordt op dezelfde essentiële manier afgeleid als de formule voor hoeksnelheid: het is slechts de lineaire versnelling in een richting loodrecht op een straal van de cirkel (equivalent zijn versnelling langs een raaklijn aan het cirkelvormige pad op een willekeurig punt) gedeeld door de straal van de cirkel of een gedeelte van een cirkel, die is:

Dit wordt ook gegeven door:

want voor cirkelvormige beweging:

​α, zoals u waarschijnlijk weet, is de Griekse letter 'alfa'. Het subscript "t" geeft hier "raaklijn" aan.

Vreemd genoeg heeft rotatiebeweging echter een ander soort versnelling, centripetale ("centrumzoekende") versnelling genoemd. Dit wordt gegeven door de uitdrukking:

Deze versnelling is gericht op het punt waar het betreffende object omheen draait. Dit lijkt misschien vreemd, aangezien het object niet dichter bij dit centrale punt komt sinds de straalris gemaakt. Zie centripetale versnelling als een vrije val waarbij er geen gevaar is dat het object de grond raakt, omdat de kracht die de object ernaartoe (meestal de zwaartekracht) wordt precies gecompenseerd door de tangentiële (lineaire) versnelling die wordt beschreven door de eerste vergelijking in deze sectie. Alseen_cwaren niet gelijk aaneen_t, zou het object ofwel de ruimte in vliegen of al snel in het midden van de cirkel neerstorten.

Hoewel hoeksnelheid gewoonlijk wordt uitgedrukt, zoals opgemerkt, in radialen per seconde, kunnen er gevallen zijn waarin het is voorkeur of noodzakelijk is om in plaats daarvan graden per seconde te gebruiken, of omgekeerd, om van graden naar radialen te converteren voordat een probleem.

Stel dat u is verteld dat een lichtbron elke seconde 90° draait met een constante snelheid. Wat is de hoeksnelheid in radialen?

Onthoud eerst dat 2π radialen = 360°, en stel een verhouding in:

Het antwoord is een halve pi radialen per seconde.

Als je verder zou worden verteld dat de lichtstraal een bereik heeft van 10 meter, wat zou dan het topje van de lineaire snelheid van de straal zijnv, zijn hoekversnellingαen zijn middelpuntzoekende versnellingeen_c​?

Op te lossen voorv, van boven, v = ωr, waarbij ω = π/2 en r = 10m:

Vindenα, neem aan dat de hoeksnelheid in 1 seconde wordt bereikt, dan:

(Merk op dat dit alleen werkt voor problemen waarbij de hoeksnelheid constant is.)

Tot slot, ook van bovenaf,

Voortbouwend op het vorige probleem, stel je jezelf voor in een zeer grote draaimolen, een met een onwaarschijnlijke straal van 10 kilometer (10.000 meter). Deze draaimolen maakt elke 1 minuut en 40 seconden of elke 100 seconden een volledige omwenteling.

Een gevolg van het verschil tussen hoeksnelheid, dat onafhankelijk is van de afstand van rotatieas en lineaire cirkelsnelheid, wat niet zo is, is dat twee mensen hetzelfde ervarenωkunnen enorm verschillende fysieke ervaringen ondergaan. Als je toevallig 1 meter van het centrum verwijderd bent als deze vermeende, massieve draaimolen, is je lineaire (tangentiële) snelheid:

of 6,29 cm (minder dan 3 inch) per seconde.

Maar als je op de rand van dit monster bent, is je lineaire snelheid:

Dat is ongeveer 1406 mijl per uur, sneller dan een kogel. Wacht even!