Kā atrisināt kvadrātsaknes vienādojumu

Skaitļa kvadrātsakne ir vērtība, kas, reizinot ar to pašu, dod sākotnējo skaitli. Piemēram, kvadrātsakne 0 ir 0, kvadrātsakne 100 ir 10 un kvadrātsakne 50 ir 7,071. Dažreiz jūs varat izdomāt vai vienkārši atcerēties kvadrātsakni skaitlim, kas pats par sevi ir "ideāls kvadrāts", kas ir vesela skaitļa reizinājums ar sevi; progresējot studiju laikā, iespējams, izveidosiet šo skaitļu garīgo sarakstu (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problēmas, kas saistītas ar kvadrātveida saknēm, ir neaizstājamas inženierzinātnēs, aprēķinos un praktiski visās mūsdienu pasaules sfērās. Lai gan jūs varat viegli atrast kvadrātsakņu vienādojumu kalkulatorus tiešsaistē (piemēru skatiet resursos), kvadrātsakņu vienādojumu risināšana ir svarīga prasme algebrā, jo tā ļauj jums iepazīties ar radikāļu lietošanu un strādāt ar vairākiem problēmu veidiem ārpus kvadrātsakņu sfēras per se.

Fakts, ka divu negatīvu skaitļu reizināšana kopā dod pozitīvu skaitli, ir svarīgs kvadrātsakņu pasaulē, jo tas nozīmē ka pozitīvajiem skaitļiem faktiski ir divas kvadrātsaknes (piemēram, kvadrātsaknes 16 ir 4 un −4, pat ja tikai pirmais ir intuitīvs). Tāpat negatīvajiem skaitļiem nav reālu kvadrātsakņu, jo nav reāla skaitļa, kas, reizinot pats par sevi, iegūtu negatīvu vērtību. Šajā prezentācijā pozitīvā skaitļa negatīvā kvadrātsakne tiks ignorēta, tāpēc "kvadrātsakni no 361" var uzskatīt par "19", nevis "−19 un 19."

Turklāt, mēģinot novērtēt kvadrātsaknes vērtību, ja neviens kalkulators nav parocīgs, ir svarīgi saprast, ka funkcijas, kas saistītas ar kvadrātiem un kvadrātsaknēm, nav lineāras. Vairāk par to redzēsit vēlāk par grafikiem, taču kā aptuvenu piemēru jūs jau novērojāt, ka kvadrātsakne 100 ir 10 un kvadrātsakne 0 ir 0. Redzot, tas var likt jums uzminēt, ka kvadrātsaknei 50 (kas ir pusceļā starp 0 un 100) jābūt 5 (kas ir pusceļā starp 0 un 10). Bet jūs jau esat arī uzzinājis, ka kvadrātsakne 50 ir 7,071.

Visbeidzot, iespējams, esat internalizējis domu, ka, reizinot divus skaitļus, iegūst skaitli lielāks par sevi, tas nozīmē, ka skaitļu kvadrātsaknes vienmēr ir mazākas par oriģinālu numuru. Tas tā nav! Arī skaitļiem no 0 līdz 1 ir kvadrātsaknes, un katrā gadījumā kvadrātsakne ir lielāka par sākotnējo skaitli. To visvieglāk parāda, izmantojot frakcijas. Piemēram, skaitlim 16/25 vai 0,64 ir ideāls kvadrāts gan skaitītājā, gan saucējā. Tas nozīmē, ka frakcijas kvadrātsakne ir tās augšējās un apakšējās daļas kvadrātsakne, kas ir 4/5. Tas ir vienāds ar 0,80, lielāks skaitlis par 0,64.

"Kvadrātveida saknex"parasti raksta, izmantojot tā saukto radikālo zīmi vai vienkārši radikālu (√). Tādējādi jebkuramx​:

apzīmē tā kvadrātsakni. Pārvēršot to apkārt, skaitļa kvadrātsxir rakstīts, izmantojot eksponentu 2 (x​²). Eksponenti ņem teksta apstrādes un saistīto lietojumprogrammu virsrakstus, un tos sauc arī par pilnvarām. Tā kā radikālas zīmes ne vienmēr ir viegli izveidot pēc pieprasījuma, ir vēl viens veids, kā uzrakstīt "kvadrātsaknix"ir jāizmanto eksponents:

Tas savukārt ir daļa no vispārējas shēmas:

nozīmē "paaugstinātxpie varasy, tad paņemiet 'z"tā sakne".x​^1/2 tādējādi nozīmē "paaugstinātxpirmajam spēkam, kas ir vienkāršixvēlreiz un pēc tam paņemiet tās 2 saknes jeb kvadrātsakni. "To pagarinot,x​^(5/3) nozīmē "paaugstinātxlīdz 5, tad atrodiet rezultāta trešo sakni (vai kuba sakni). "

Radikāļus var izmantot, lai attēlotu citas saknes, nevis kvadrātsakni. Tas tiek darīts, vienkārši pievienojot augšrakstu radikāla augšējā kreisajā stūrī.

tad apzīmē to pašu skaitli kāx​^(5/3) no iepriekšējā punkta dara.

Lielākā daļa kvadrātsakņu ir iracionāli skaitļi. Tas nozīmē, ka tie ne tikai nav jauki, glīti veseli skaitļi (piemēram, 1, 2, 3, 4.. .), taču tos nevar arī izteikt kā kārtīgu decimāldaļu, kas beidzas bez noapaļošanas. Racionālu skaitli var izteikt kā daļu. Tātad, kaut arī 2.75 nav vesels skaitlis, tas ir racionāls skaitlis, jo tas ir tas pats, kas frakcija 11/4. Jums jau iepriekš teica, ka kvadrātsakne 50 ir 7,071, bet tas faktiski tiek noapaļots no bezgalīga daudzuma aiz komata. Precīzā √50 vērtība ir 5√2, un jūs drīz redzēsiet, kā tas tiek noteikts.

Jūs jau redzējāt, ka vienādojumi kvadrātu un kvadrātsakņu iesaistīšanā ir nelineāri. Viens vienkāršs veids, kā to atcerēties, ir tas, ka šo vienādojumu risinājumu grafiki nav līnijas. Tam ir jēga, jo, ja, kā norādīts, kvadrāts 0 ir 0 un kvadrāts 10 ir 100, bet kvadrāts no 5 nav 50, grafikam, kas iegūts, vienkārši skaitot kvadrātā, ir jāizliekas līdz pareizajam vērtības.

Tas ir gadījumā ar grafiku

kā jūs pats varat redzēt, apmeklējot kalkulatoru Resursi un mainot parametrus. Līnija iet caur punktu (0,0), un y nenokļūst zem 0, kas jums vajadzētu sagaidīt, jo jūs to zinātx​² nekad nav negatīva. Varat arī redzēt, ka diagramma ir simetriska apy-asis, kam ir jēga arī tāpēc, ka katram noteiktā skaitļa pozitīvajam kvadrātsaknei ir pievienota vienāda lieluma negatīva kvadrātsakne. Tāpēc, izņemot 0, katruyvērtība grafikāy​ = ​x​² ir saistīts ar diviemx-vērtības.

Viens veids, kā ar rokām risināt pamata kvadrātsaknes problēmas, ir meklēt perfektus kvadrātus, kas "paslēpti" problēmas iekšpusē. Pirmkārt, ir svarīgi zināt dažas kvadrātu un kvadrātu sakņu būtiskās īpašības. Viens no tiem ir tāds pats kā √x​² ir vienkārši vienāds arx(jo radikāls un eksponents atceļ viens otru):

Tas ir, ja jums ir ideāls kvadrāts zem radikāla, reizinot citu skaitli, varat to "izvilkt" un izmantot kā atlikušā koeficientu. Piemēram, atgriežoties pie kvadrātsaknes 50

Dažreiz jūs varat pārtraukt skaitli, kas ietver kvadrātsaknes, kas izteikts kā daļa, bet joprojām ir iracionāls skaitlis, jo saucējs, skaitītājs vai abi satur radikāļu. Šādos gadījumos jums var lūgt racionalizēt saucēju. Piemēram, skaitlis

ir radikāls gan skaitītājā, gan saucējā. Bet, pārbaudot “45”, jūs to varat atpazīt kā 9. un 5. reizinājumu, kas nozīmē

Tāpēc daļu var rakstīt

Radikāļi viens otru atceļ, un jums paliek 6/3 = 2.