Polinoma saknes sauc arī par tā nulli, jo saknes irxvērtības, pie kurām funkcija ir vienāda ar nulli. Runājot par sakņu patiesu atrašanu, jūsu rīcībā ir vairākas metodes; faktorings ir tā metode, kuru izmantosiet visbiežāk, lai arī grafika lietošana var būt noderīga.
Cik saknes?
Pārbaudiet polinoma augstākās pakāpes termiņu - tas ir, terminu ar visaugstāko eksponentu. Šis eksponents ir tas, cik daudz sakņu būs polinomā. Tātad, ja jūsu polinoma augstākais eksponents ir 2, tam būs divas saknes; ja augstākais eksponents ir 3, tam būs trīs saknes; un tā tālāk.
Brīdinājumi
-
Ir nozveja: polinoma saknes var būt reālas vai iedomātas. “Īstās” saknes ir kopas, kas pazīstamas kā reālie skaitļi, locekļi, kas šajā matemātikas karjeras brīdī ir katrs skaitlis, ar kuru esat pieradis nodarboties. Iedomātu skaitļu apgūšana ir pavisam cita tēma, tāpēc pagaidām atcerieties tikai trīs lietas:
- "Iedomātas" saknes tiek sakārtotas, kad jums ir negatīvā skaitļa kvadrātsakne. Piemēram, √ (-9).
- Iedomātas saknes vienmēr nāk pa pāriem.
- Polinoma saknes var būt reālas vai iedomātas. Tātad, ja jums ir 5. pakāpes polinoms, tam var būt piecas reālas saknes, tam var būt trīs reālas saknes un divas iedomātas saknes utt.
Atrodiet saknes, izmantojot faktoringu: 1. piemērs
Vispusīgākais sakņu atrašanas veids ir pēc iespējas vairāk faktora faktors un katra termina iestatīšana ar nulli. Tas ir daudz jēgpilnāk, kad esat ievērojis dažus piemērus. Apsveriet vienkāršo polinomux2 – 4x:
Īsa pārbaude parāda, ka jūs varat faktoru ņemt vērāxno abiem polinoma nosacījumiem, kas dod jums:
x (x - 4)
Katru terminu iestatiet uz nulli. Tas nozīmē, ka jāatrisina divi vienādojumi:
x = 0
ir pirmais termiņš, kas iestatīts uz nulli, un
x - 4 = 0
ir otrais termins, kas iestatīts uz nulli.
Jums jau ir pirmā termiņa risinājums. Jax= 0, tad visa izteiksme ir vienāda ar nulli. Tātadx= 0 ir viena no polinoma saknēm vai nullēm.
Apsveriet otro terminu un atrisinietx. Pievienojot 4 abām pusēm, jums būs:
x - 4 + 4 = 0 + 4
kas vienkāršo:
x = 4
Tātad jax= 4, tad otrais koeficients ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka arī viss polinoms ir vienāds ar nulli.
Tā kā sākotnējais polinoms bija otrās pakāpes (augstākais eksponents bija divi), jūs zināt, ka šim polinomam ir tikai divas iespējamās saknes. Jūs jau esat viņus abus atradis, tāpēc atliek tikai uzskaitīt:
x = 0, x = 4
Atrodiet saknes, izmantojot faktoringu: 2. piemērs
Šeit ir vēl viens piemērs tam, kā atrast saknes, izmantojot faktoringu, pa ceļam izmantojot kādu iedomātu algebru. Apsveriet polinomux4 – 16. Ātri apskatot tā eksponentus, jūs redzat, ka šim polinomam jābūt četrām saknēm; tagad ir pienācis laiks tos atrast.
Vai pamanījāt, ka šo polinomu var pārrakstīt kā kvadrātu starpību? Tātad tā vietāx4 - 16, jums ir:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Izmantojot kvadrātu starpības formulu, tiek ņemti vērā šādi faktori:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Pirmais termins atkal ir kvadrātu starpība. Tātad, lai gan jūs vairs nevarat koeficientēt labajā pusē esošo vārdu, kreisajā pusē esošo terminu varat koeficientēt vēl:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Tagad ir pienācis laiks atrast nulles. Ātri kļūst skaidrs, ka, jax= 2, pirmais faktors būs vienāds ar nulli, un tādējādi visa izteiksme būs vienāda ar nulli.
Līdzīgi, jax= −2, otrais koeficients būs vienāds ar nulli, līdz ar to arī visa izteiksme.
Tātadx= 2 unx= −2 ir abas šī polinoma nulles vai saknes.
Bet kā ar šo pēdējo termiņu? Tā kā tam ir eksponents "2", tam vajadzētu būt divām saknēm. Bet jūs nevarat šo faktoru ņemt vērā, izmantojot reālos skaitļus, pie kuriem esat pieradis. Jums ir jāizmanto ļoti uzlabots matemātiskais jēdziens, ko sauc par iedomātiem skaitļiem vai, ja vēlaties, sarežģītiem skaitļiem. Tas tālu pārsniedz jūsu pašreizējās matemātikas prakses darbības jomu, tāpēc pagaidām pietiek atzīmēt, ka jums ir divas reālas saknes (2 un −2) un divas iedomātas saknes, kuras jūs atstāsiet nenoteiktas.
Atrodiet saknes, izmantojot grafiku
Jūs varat arī atrast vai vismaz novērtēt saknes, izmantojot grafiku. Katra sakne apzīmē vietu, kur funkcijas grafiks šķērsoxass. Tātad, ja jūs uzzīmējat līniju un pēc tam ņemiet vērāxkoordinātas vietā, kur līnija šķērsoxass, varat ievietot aprēķinātoxšo punktu vērtības jūsu vienādojumā un pārbaudiet, vai esat tos pareizi ieviesis.
Apsveriet pirmo polinoma piemēru, kuru strādājātx2 – 4x. Ja jūs to uzmanīgi izvelkat, redzēsiet, ka līnija šķērsoxass piex= 0 unx= 4. Ja katru no šīm vērtībām ievadīsit sākotnējā vienādojumā, iegūsiet:
0^2 - 4(0) = 0
tātadx= 0 bija derīga nulle vai sakne šim polinomam.
4^2 - 4(4) = 0
tātadx= 4 ir arī derīga nulle vai sakne šim polinomam. Tā kā polinoms bija ar 2. pakāpi, jūs zināt, ka varat pārtraukt meklēt pēc divu sakņu atrašanas.