Teilora sērija ir skaitliska metode, kā attēlot noteiktu funkciju. Šī metode ir piemērojama daudzās inženierzinātņu jomās. Dažos gadījumos, piemēram, siltuma pārnesē, diferenciālās analīzes rezultātā tiek iegūts vienādojums, kas atbilst Teilora sērijas formai. Teilora sērija var būt arī neatņemama sastāvdaļa, ja šīs funkcijas integrāls nepastāv analītiski. Šie attēlojumi nav precīzas vērtības, taču, aprēķinot vairāk terminu sērijā, tuvināšana kļūs precīzāka.
Izvēlieties Teilora sērijas centru. Šis skaitlis ir patvaļīgs, taču ieteicams izvēlēties centru, kur funkcijai ir simetrija vai kur centra vērtība vienkāršo problēmas matemātiku. Ja aprēķina f (x) = sin (x) Teilora sērijas attēlojumu, labs izmantojamais centrs ir a = 0.
Nosakiet aprēķināto terminu skaitu. Jo vairāk terminu jūs izmantojat, jo precīzāka būs jūsu attēlojums, taču, tā kā Teilora sērija ir bezgalīga sērija, nav iespējams iekļaut visus iespējamos terminus. Grēka (x) piemērā tiks izmantoti seši termini.
Aprēķiniet atvasinājumus, kas jums būs nepieciešami sērijai. Šajā piemērā jums jāaprēķina visi atvasinājumi līdz sestajam atvasinājumam. Tā kā Teilora sērija sākas ar "n = 0", jums jāiekļauj "0" atvasinājums, kas ir tikai sākotnējā funkcija. 0. atvasinājums = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Aprēķiniet katra atvasinājuma vērtību izvēlētajā centrā. Šīs vērtības būs Teilora sērijas pirmo sešu terminu skaitītāji. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Izmantojiet atvasinājumu aprēķinus un centru, lai noteiktu Teilora sērijas terminus. 1. sasaukums; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2. sasaukums; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3. sasaukums; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. sasaukums; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. sasaukums; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. sasaukums; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Teilora sērija par grēku (x): grēks (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Nometiet nulles nosacījumus sērijā un vienkāršojiet izteiksmi algebriski, lai noteiktu funkcijas vienkāršoto attēlojumu. Šī būs pavisam cita sērija, tāpēc iepriekš izmantotās "n" vērtības vairs netiek piemērotas. grēks (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... grēks (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Tā kā zīmes mijas starp pozitīvu un negatīvu, vienkāršotā vienādojuma pirmajai sastāvdaļai jābūt (-1) ^ n, jo sērijā nav pāra skaitļu. Termins (-1) ^ n rada negatīvu zīmi, kad n ir nepāra, un pozitīvu zīmi, kad n ir pāra. Nepāra skaitļu sērijas attēlojums ir (2n + 1). Ja n = 0, šis termins ir vienāds ar 1; kad n = 1, šis termins ir vienāds ar 3 un tā tālāk līdz bezgalībai. Šajā piemērā izmantojiet šo attēlojumu x un eksponentiem saucējā
Sākotnējās funkcijas vietā izmantojiet funkcijas attēlojumu. Progresīvākiem un sarežģītākiem vienādojumiem Teilora sērija var padarīt neatrisināmu vienādojumu atrisināmu vai vismaz sniegt saprātīgu skaitlisku risinājumu.