Visi matemātikas studenti un daudzi dabaszinātņu studenti kādā studiju posmā sastopas ar polinomiem, taču, par laimi, ar tiem ir viegli tikt galā, kad esat apguvis pamatus. Galvenās darbības, kas jums jāveic ar polinoma izteiksmēm, ir saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana, un, lai gan sadalīšana var būt sarežģīta, lielākoties jūs varēsiet tikt galā ar pamatiem vieglums.
Polinomi: definīcija un piemēri
Polinoms apraksta algebrisko izteiksmi ar vienu vai vairākiem terminiem, kas ietver mainīgo (vai vairākus), ar eksponentiem un, iespējams, konstantēm. Tie nevar ietvert dalīšanu ar mainīgo, nedrīkst būt negatīvi vai daļēji eksponenti, un tiem jābūt ierobežotam terminu skaitam.
Šis piemērs parāda polinomu:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Un tas parāda vēl vienu:
xy ^ 2 - 3 x + y
Ir daudz veidu, kā klasificēt polinomus, tostarp pēc pakāpes (eksponentu summa visaugstākajā jaudas termiņā, piemēram, 3 pirmais piemērs) un pēc to saturošo terminu skaita, piemēram, monomāli (viens termins), binomiāli (divi termini) un trinomiāli (trīs noteikumiem).
Polinomu saskaitīšana un atņemšana
Polinomu pievienošana un atņemšana ir atkarīga no “līdzīgu” terminu apvienošanas. Līdzīgs termins ir tāds pats ar mainīgajiem un eksponentiem kā cits, taču skaitlis, ar kuru tie tiek reizināti (koeficients), var būt atšķirīgs. Piemēram,x2 un 4x 2 ir līdzīgi termini, jo tiem ir viens un tas pats mainīgais un eksponents, un 2xy 4 un 6xy 4 ir tāpat kā termini. Tomērx2, x3, x2y2 uny2 nav līdzīgi terminiem, jo katrs no tiem satur dažādas mainīgo un eksponentu kombinācijas.
Pievienojiet polinomus, apvienojot līdzīgus terminus tāpat kā ar citiem algebriskiem terminiem. Piemēram, aplūkojiet problēmu:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Apkopojiet līdzīgos noteikumus, lai iegūtu:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Pēc tam novērtējiet, vienkārši saskaitot koeficientus un apvienojot vienā termiņā:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Ņemiet vērā, ka ar neko nevarat izdarītyjo tam nav līdzīga termina.
Atņemšana darbojas tāpat:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Pirmkārt, ņemiet vērā, ka visi labās puses iekavās esošie vārdi tiek atņemti no kreisās puses iekavas, tāpēc uzrakstiet to šādi:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Apvienojiet līdzīgus terminus un novērtējiet, lai iegūtu:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Šādas problēmas gadījumā:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Ņemiet vērā, ka mīnus zīme tiek lietota visai izteiksmei labajā iekavā, tāpēc divas negatīvās zīmes pirms 3x2 kļūt par papildzīmi:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Pēc tam aprēķiniet tāpat kā iepriekš.
Pavairojot polinoma izteiksmes
Reiziniet polinomu izteiksmes, izmantojot reizināšanas sadales īpašību. Īsāk sakot, reiziniet katru terminu pirmajā polinomā ar katru otro. Apskatiet šo vienkāršo piemēru:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Jūs to atrisināt, izmantojot izplatīšanas īpašumu, tāpēc:
\ sākt {izlīdzināt} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ beigas {izlīdzināts}
Tādā pašā veidā risiniet sarežģītākas problēmas:
\ sākt {izlīdzināt} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {izlīdzināts}
Šīs problēmas var sarežģīt lielākiem grupējumiem, taču pamatprocess joprojām ir tāds pats.
Polinomu izteicienu dalīšana
Polinomu izteiksmju sadalīšana prasa ilgāku laiku, taču to var risināt pa soļiem. Apskatiet izteicienu:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Vispirms uzrakstiet izteicienu kā garu dalījumu ar dalītāju kreisajā pusē un dividenžu labajā pusē:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Daliet pirmo dividenžu terminu ar pirmo dalītāja terminu un ielieciet rezultātu uz līnijas virs dalījuma. Šajā gadījumā,x2 ÷ x = x, tātad:
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {aligned}
Reiziniet šo rezultātu ar visu dalītāju, tāpēc šajā gadījumā (x + 2) × x = x2 + 2 x. Novietojiet šo rezultātu zem dalījuma:
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {aligned}
Atņemiet jaunās rindas rezultātu no noteikumiem, kas atrodas tieši virs tā (ņemiet vērā, ka tehniski jūs maināt zīmi, tādēļ, ja jums būtu negatīvs rezultāts, jūs to pievienotu) un ievietojiet to zem līnijas. Pārvietojiet arī pēdējo termiņu no sākotnējās dividendes uz leju.
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {aligned}
Tagad atkārtojiet procesu ar dalītāju un jauno polinomu apakšējā rindā. Tātad sadaliet dalītāja pirmo terminu (x) līdz dividenžu pirmajam termiņam (−5x) un izvirziet to iepriekš:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {aligned}
Reiziniet šo rezultātu (−5x ÷ x= −5) ar sākotnējo dalītāju (tātad (x + 2) × −5 = −5 x−10) un ievietojiet rezultātu jaunā apakšējā rindā:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ beigas {izlīdzinātas}
Pēc tam atņemiet apakšējo līniju no nākamās uz augšu (tāpēc šajā gadījumā mainiet zīmi un pievienojiet), un rezultātu ievietojiet jaunā apakšējā rindā:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {aligned}
Tā kā apakšā tagad ir nulles rinda, process ir pabeigts. Ja būtu palikuši vienumi, kas nav nulle, jūs atkārtotu procesu vēlreiz. Rezultāts atrodas augšējā rindā, tātad:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Šo sadalījumu un dažus citus, ja iespējams, var atrisināt vienkāršāk faktors polinoms dividendēs.