Kas ir reālie skaitļi?

Reālie skaitļi ir visi skaitļi līnijā, kas stiepjas no negatīvās bezgalības līdz nullei līdz pozitīvajai bezgalībai. Šī reālo skaitļu kopas konstrukcija nav patvaļīga, bet gan rezultāts skaitīšanai izmantoto dabisko skaitļu attīstībai. Dabisko skaitļu sistēmā ir vairākas neatbilstības, un, aprēķiniem kļūstot sarežģītākiem, skaitļu sistēma paplašinājās, lai novērstu tās ierobežojumus. Izmantojot reālos skaitļus, aprēķini dod konsekventus rezultātus, un ir maz izņēmumu vai ierobežojumu, piemēram, skaitļu sistēmas primitīvākajām versijām.

TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)

Reālo skaitļu kopu veido visi skaitļi, kas atrodas skaitļu rindā. Tas ietver dabiskos skaitļus, veselos skaitļus, veselos skaitļus, racionālos skaitļus un iracionālos skaitļus. Tas neietver iedomātus skaitļus vai kompleksus skaitļus.

Slēgšana ir skaitļu kopas īpašība, kas nozīmē, ka, ja atļautie aprēķini tiek veikti skaitļiem, kas ir kopas dalībnieki, atbildes būs arī skaitļi, kas ir kopas dalībnieki. Komplekts esot slēgts.

Dabiskie skaitļi ir skaitīšanas skaitļi 1, 2, 3..., un dabisko skaitļu kopa nav slēgta. Tā kā tirdzniecībā tika izmantoti dabiskie skaitļi, uzreiz radās divas problēmas. Lai gan dabiskie skaitļi skaitīja reālus objektus, piemēram, govis, ja lauksaimniekam bija piecas govis un viņš pārdeva piecas govis, rezultātam nebija dabiska skaitļa. Agrīnās skaitļu sistēmas ļoti ātri izstrādāja terminu nulle, lai risinātu šo problēmu. Rezultāts bija veselu skaitļu sistēma, kas ir dabiskie skaitļi plus nulle.

Arī otrā problēma bija saistīta ar atņemšanu. Kamēr skaitļi skaitīja reālus priekšmetus, piemēram, govis, zemnieks nevarēja pārdot vairāk govju, nekā viņam bija. Bet, kad skaitļi kļuva abstrakti, lielāku skaitļu atņemšana no mazākiem sniedza atbildes ārpus veselu skaitļu sistēmas. Rezultātā tika ieviesti veseli skaitļi, kas ir veseli skaitļi plus negatīvie dabiskie skaitļi. Ciparu sistēmā tagad bija iekļauta pilnīga ciparu rinda, bet tikai ar veseliem skaitļiem.

Aprēķiniem slēgtā skaitļu sistēmā jāsniedz atbildes no skaitļu sistēmas uz tādas darbības kā saskaitīšana un reizināšana, bet arī to apgrieztās darbības, atņemšana un atdalīšana sadalīšana. Veselu skaitļu sistēma ir slēgta saskaitīšanai, atņemšanai un reizināšanai, bet ne dalīšanai. Ja vesels skaitlis tiek dalīts ar citu skaitli, rezultāts ne vienmēr ir vesels skaitlis.

Sadalot nelielu veselu skaitli ar lielāku, iegūst daļu. Šādas daļas skaitļu sistēmā tika pievienotas kā racionāli skaitļi. Racionālie skaitļi ir definēti kā jebkuri skaitļi, kurus var izteikt kā divu veselu skaitļu attiecību. Jebkuru patvaļīgu decimāldaļu var izteikt kā racionālu skaitli. Piemēram, 2,864 ir 2864/1000 un 0,89632 ir 89632/100 000. Šķita, ka numuru rinda tagad ir pabeigta.

Ciparu rindā ir skaitļi, kurus nevar izteikt kā veselu skaitļu daļu. Viens ir taisnstūra trīsstūra malu attiecība pret hipotenūzu. Ja taisnleņķa trīsstūra divas malas ir 1 un 1, hipotenūza ir kvadrātsakne no 2. Divu kvadrātsakne ir bezgalīga zīme aiz komata, kas neatkārtojas. Šādus skaitļus sauc par neracionāliem, un tie ietver visus reālos skaitļus, kas nav racionāli. Izmantojot šo definīciju, visu reālo skaitļu skaitļu rinda ir pilnīga, jo jebkurš cits reāls skaitlis, kas nav racionāls, ir iekļauts iracionāla definīcijā.

Lai gan tiek teikts, ka reālā skaitļa līnija stiepjas no negatīvās uz pozitīvo bezgalību, pati bezgalība nav a reālais skaitlis, bet drīzāk skaitļu sistēmas jēdziens, kas to definē kā daudzumu, kas ir lielāks par jebkuru numuru. Matemātiski bezgalība ir atbilde uz 1 / x, kad x sasniedz nulli, bet dalījums ar nulli nav definēts. Ja bezgalība būtu skaitlis, tas novestu pie pretrunām, jo ​​bezgalība neievēro aritmētikas likumus. Piemēram, bezgalība plus 1 joprojām ir bezgalība.

Reālo skaitļu kopa ir slēgta saskaitīšanai, atņemšanai, reizināšanai un dalīšanai, izņemot dalīšanu ar nulli, kas nav definēta. Komplekts nav aizvērts vismaz vienai citai darbībai.

Reālo skaitļu kopuma likumi nosaka, ka reizinājums ar negatīvu un a pozitīvs skaitlis dod negatīvu skaitli, savukārt pozitīvu vai negatīvu skaitļu reizinājums dod pozitīvu atbildes. Tas nozīmē, ka īpašais skaitļa reizināšanas gadījums pats par sevi dod pozitīvu skaitli gan pozitīvajiem, gan negatīvajiem skaitļiem. Šī īpašā gadījuma apgrieztā vērtība ir pozitīva skaitļa kvadrātsakne, sniedzot gan pozitīvu, gan negatīvu atbildi. Par negatīva skaitļa kvadrātsakni reālo skaitļu kopā nav atbildes.

Iedomātu skaitļu kopas jēdziens risina negatīvo kvadrātsakņu jautājumu reālajos skaitļos. Kvadrātsakne mīnus 1 ir definēta kā i, un visi iedomātie skaitļi ir i daudzkārtņi. Lai pabeigtu skaitļu teoriju, tiek noteikts, ka komplekso skaitļu kopa ietver visus reālos un visus iedomātos skaitļus. Reālos skaitļus var turpināt vizualizēt uz horizontālas skaitļu līnijas, savukārt iedomātie skaitļi ir vertikāla skaitļu līnija, abiem krustojoties uz nulles. Kompleksie skaitļi ir punkti divu skaitļu līniju plaknē, katram no kuriem ir reāls un iedomāts komponents.