Jēdziensīpašvērtībasir neskaidrs, bet ļoti noder matemātiķiem un fizikas zinātniekiem, kuri saskaras ar dažām interesantām problēmām.
Lai saprastu īpašvērtību, iedomājieties, ka jums ir funkcija (piem.,y = x2 + 6xvaiy= log 4x), kuru jūs varētu veikt, izmantojot kādu procesu, lai rezultāts būtu tāds pats kā visas funkcijas reizināšana ar nemainīgu vērtību. Šāda funkcija būtu kvalificējama kāīpašā funkcija, un konstante būtu īpašvērtība.
- "Eigen" vācu valodā nozīmē "tas pats".
Lai vislabāk izprastu īpašās vērtības un to funkcijas, kā arī pats varētu aprēķināt īpašās vērtības, jums ir nepieciešama pamata izpratne par matricām. Šie matemātiskie triki tiek izmantoti, lai noteiktu teiksmi, NO saites secību2 (slāpekļa dioksīds) un citas molekulas, jo elektronu uzvedību atomos nosaka viļņu funkcijas, kas kvalificējas kā īpašas funkcijas.
Kas ir matrica?
Matrica ir rindās un kolonnās sakārtotu skaitļu masīvs, kura skaitlis var būt no 1 līdzn. Matricu izmēri ir norādīti kā rinda pa kolonnai; piemēram, matrica 2 līdz 3 ir šāda:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Matricas var saskaitīt kopā, ja tām ir vienāds izmērs (tas ir, tām ir vienāds rindu skaits un vienāds kolonnu skaits). Tos var arī reizināt ar pakāpenisku procesu ar vienādiem nosacījumiem. Turklāt jebkuru matricu var reizināt ar vektoru, kas ir 1xnvain-ar-1 matricu; tas ietver citus vektorus.
Kas ir īpašvērtības vienādojums?
Sakiet, ka jums irn-pienvai "kvadrātveida" matricaA, nullen-ar-1 vektoruv, un skalārsλ, tāds, ka ir izpildīts šāds vienādojums:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Jebkura vērtībaλkam ir vienādojuma risinājums, sauc par matricas īpašvērtībuA.
Neļaujiet savam prātam traktēt iepriekš minētos izteicienus kā produktu.Airoperatorsuz vektora vai tā lineāra transformācijav, šis aprēķins ir iespējams tikai tāpēc, kaAunvabiem irnrindas.
Kāpēc izmantot īpašvērtības funkcijas?
Iegūšana ir sarežģīta, bet atomu ķīmijā Hamiltonas operatoru "H-bar" izmanto, lai izteiktu sistēmas kinētisko un potenciālo enerģiju:
\ cepure H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ cepure V (x, y, z)
To izmanto, lai uzrakstītuŠrodingera viļņu funkcijas vienādojumskvantu mehānikā:
\ cepure Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
ŠeitEapzīmē īpašvērtības, kas apmierina šo vienādojumu.
Veidi, kā atrast matricas īpašvērtības
No vienādojuma Av = λv jūs saņematA v − λv=0. Tas noved pie:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
KurEsir 2-by-2 identitātes matrica ar rindām [λ0] un [0λ], kas noved pie 1, reizinot ar skalāruλ. Šis rezultāts dod:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Kurš, javir nulle, tam ir risinājums tikai tad, ja absolūtā vērtība irA− λEsvai |A − λEs|, ir nulle. Ja jūs tos darāt ar rokām, tas ietver kvadrātvienādojuma atrisināšanu un var būt garlaicīgs.
Lai reizinātu divas matricas kopā, katram produkta matricas punktam jūs reizināt atbilstošos punktus kopā un pievienojiet to atlikušo rindu un kolonnu elementu produktiem rindā un kolonnā, uz kuru ir jauns punkts pieder.
Reizinot divas 2-by-2 matricasAunBkopā, ja pirmā rindaAir [1 3] unBir [2 5], jaunās matricas pirmajā kolonnā un rindā skaitlis būtu [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, un attiecīgi pārējiem trim punktiem.
Aprēķiniet īpašvērtības tiešsaistē
Resursos jūs atradīsit matricas aprēķināšanas rīku, kas ļauj atrast īpašvērtības un daudz ko citu gandrīz jebkura iespējama lieluma matricai.