Reālo skaitļu kopu veido visi skaitļi, kas atrodas skaitļu rindā. Apakškopas var ietvert jebkuru numuru kolekciju, taču svarīgas apakškopas elementiem vajadzētu būt vismaz vairākām kopīgām pazīmēm. Lielākā daļa šo apakškopu ir noderīgas tikai konkrētiem aprēķiniem, taču ir dažas, kurām ir interesantas īpašības un kas palīdz saprast, kā darbojas reālā skaitļu sistēma.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Svarīgākās reālo skaitļu kopas apakškopas ietver racionālos un iracionālos skaitļus. Racionālo skaitļu kopu var sadalīt turpmākajās apakškopās, ieskaitot dabiskos skaitļus, veselos skaitļus un veselos skaitļus. Citas reālo skaitļu apakškopas ir pāra un nepāra skaitļi, galvenie skaitļi un ideālie skaitļi. Kopumā ir bezgalīgs skaits reālo skaitļu apakškopu.
Reālā skaitļa apakškopas kopumā
Jebkurai kopai, kurā ir n elementu, apakškopu skaits ir 2n. Reālo skaitļu kopai ir bezgalīgi daudz elementu, un tāpēc atbilstošais 2 eksponents ir arī bezgalīgs, dodot bezgalīgu skaitu apakškopu.
Daudzas no šīm apakškopām var izmantot, strādājot ar reālo skaitļu sistēmu un aprēķinu laikā, taču tās ir noderīgas tikai īpašiem mērķiem. Piemēram, lai aprēķinātu vairāku picu cenu draugiem, var interesēt tikai skaitļu apakškopa no desmit līdz simtam. Āra termometrs var parādīt tikai temperatūras apakškopu no mīnus 40 līdz plus 120 grādiem pēc Fārenheita. Darbs ar šādām apakškopām ir noderīgs, jo jebkurš rezultāts ārpus paredzētās apakškopas, iespējams, ir nepareizs.
Reālāko skaitļu vispārīgākas apakškopas klasificē skaitļus pēc to īpašībām, un rezultātā šīm apakškopām ir unikālas īpašības. Reālo skaitļu sistēma ir izveidojusies no tādām apakškopām kā dabiskie skaitļi, kurus izmanto skaitīšanai, un šādas apakškopas veido pamatu algebras izpratnei.
Apakškopas, kas veido reālos skaitļus
Reālo skaitļu kopu veido racionālie un iracionālie skaitļi. Racionālie skaitļi ir veseli skaitļi un skaitļi, kurus var izteikt kā daļu. Visi pārējie reālie skaitļi ir iracionāli, un tajos ietilpst tādi skaitļi kā kvadrātsakne 2 un skaitlis pi. Tā kā iracionālie skaitļi tiek definēti kā reālo skaitļu apakškopa, visiem iracionālajiem skaitļiem jābūt reāliem skaitļiem.
Racionālos skaitļus var sadalīt papildu apakškopās. Dabiskie skaitļi ir skaitļi, kurus vēsturiski izmantoja skaitīšanai, un tie ir secība 1, 2, 3 utt. Veseli skaitļi ir dabiskie skaitļi plus nulle. Veseli skaitļi ir veseli skaitļi plus negatīvie dabiskie skaitļi.
Citas racionālo skaitļu apakškopas ietver tādus jēdzienus kā pāra, nepāra, pamatskaitļa un perfekta skaitļi. Pāra skaitļi ir veseli skaitļi, kuru faktors ir 2; nepāra skaitļi ir visi pārējie skaitļi. Sākotnējie skaitļi ir veseli skaitļi, kuru faktori ir tikai paši un 1. Perfekti skaitļi ir veseli skaitļi, kuru faktori summējas skaitlim. Mazākais ideālais skaitlis ir 6, un tā koeficienti 1, 2 un 3 summējas ar 6.
Kopumā aprēķini, kas veikti ar reāliem skaitļiem, sniedz atbildes uz reāliem skaitļiem, taču ir izņēmums. Nav reāla skaitļa, kas, reizinot pats par sevi, sniegtu negatīvu reālo skaitli kā atbildi. Tā rezultātā negatīvā reālā skaitļa kvadrātsakne nevar būt reāls skaitlis. Negatīvo reālo skaitļu kvadrātsaknes sauc par iedomātiem skaitļiem, un tie ir skaitļu kopas elementi, kas pilnīgi atdalīti no reālajiem skaitļiem.
Reālo skaitļu apakškopu izpēte ir daļa no skaitļu teorijas, un tā klasificē skaitļus, lai būtu vieglāk saprast, kā darbojas skaitļu teorija. Iepazīšanās ar reālā skaitļa apakškopām un to īpašībām ir labs pamats turpmākajiem matemātikas pētījumiem.