Kā atrisināt kubiskos vienādojumus

Polinoma funkciju risināšana ir galvenā prasme ikvienam, kas mācās matemātiku vai fiziku, taču, lai tiktu galā ar procesu - it īpaši, ja runa ir par augstākas pakāpes funkcijām, tas var būt diezgan sarežģīts. Kubiskā funkcija ir viens no izaicinošākajiem polinoma vienādojuma veidiem, kas jums, iespējams, būs jāatrisina ar roku. Lai gan tas var nebūt tik vienkārši kā kvadrātvienādojuma atrisināšana, ir vairākas metodes jūs varat izmantot kubiskā vienādojuma risinājuma meklēšanai, neizmantojot lappuses un detalizētas lappuses algebra.

Kubiskā funkcija ir trešās pakāpes polinoms. Vispārējai polinoma funkcijai ir šāda forma:

Šeit, x ir mainīgais, n ir vienkārši jebkurš skaitlis (un polinoma pakāpe), k ir konstante, bet pārējie burti ir nemainīgi koeficienti katrai x. Tātad kubiskajai funkcijai ir n = 3 un ir vienkārši:

Ja šajā gadījumā d ir konstante. Parasti, kad jums jāatrisina kubiskais vienādojums, jums tas tiks parādīts šādā formā:

Katrs risinājums x sauc par vienādojuma “sakni”. Kubiskajiem vienādojumiem ir vai nu viena reāla sakne, vai trīs, lai arī tos var atkārtot, taču vienmēr ir vismaz viens risinājums.

Vienādojuma veidu nosaka augstākā jauda, ​​tāpēc iepriekš minētajā piemērā tas nebūtu kubiskais vienādojums, ja a = 0, jo augstākais jaudas termiņš būtu bx² un tas būtu kvadrātvienādojums. Tas nozīmē, ka visi kubiskie vienādojumi ir šādi:

Vienkāršākais veids, kā atrisināt kubisko vienādojumu, ietver mazliet minējumus un algoritmisku procesa veidu, ko sauc par sintētisko dalījumu. Sākums tomēr būtībā ir tāds pats kā izmēģinājumu un kļūdu metode kubisko vienādojumu risinājumiem. Mēģiniet noskaidrot, kāda ir viena no saknēm, uzminot. Ja jums ir vienādojums, kur pirmais koeficients, a, ir vienāds ar 1, tad ir nedaudz vieglāk uzminēt vienu no saknēm, jo ​​tie vienmēr ir nemainīgā termina faktori, ko attēlo iepriekš d.

Tātad, aplūkojot, piemēram, šādu vienādojumu:

Jums ir jāuzmin viena no vērtībām x, bet kopš tā laika a = 1 šajā gadījumā jūs zināt, ka neatkarīgi no vērtības ir jābūt koeficientam 24. Pirmais šāds faktors ir 1, bet tas atstātu:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Kas nav nulle, un −1 atstātu:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Kas atkal nav nulle. Nākamais, x = 2 dotu:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Vēl viena izgāšanās. Mēģina x = −2 dod:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Tas nozīmē x = −2 ir kubiskā vienādojuma sakne. Tas parāda izmēģinājumu un kļūdu metodes priekšrocības un trūkumus: jūs varat saņemt atbildi bez daudz domāja, bet tas ir laikietilpīgs (it īpaši, ja pirms saknes atrašanas jums jāiet uz augstākiem faktoriem). Par laimi, kad esat atradis vienu sakni, pārējo vienādojumu varat viegli atrisināt.

Galvenais ir faktora teorēmas iekļaušana. Tas norāda, ka, ja x = s ir risinājums, tad (x – s) ir faktors, ko var izvilkt no vienādojuma. Šajā situācijā s = −2, un tā (x + 2) ir faktors, ko mēs varam izvilkt, lai atstātu:

Otrās iekavu grupas terminu forma ir kvadrātvienādojums, tādēļ, ja atrodat atbilstošās vērtības a un b, vienādojumu var atrisināt.

To var panākt, izmantojot sintētisko dalīšanu. Vispirms tabulas augšējā rindā pierakstiet sākotnējā vienādojuma koeficientus ar dalīšanas līniju un pēc tam pa labi zināmo sakni:

Atstājiet vienu rezerves rindu un pēc tam pievienojiet horizontālu līniju zem tās. Vispirms paņemiet pirmo numuru (šajā gadījumā 1) līdz rindai zem horizontālās līnijas

Tagad reiziniet tikko pazemināto skaitli ar zināmo sakni. Šajā gadījumā 1 × −2 = −2, un tas ir rakstīts zem saraksta nākamā numura šādi:

Pēc tam pievienojiet skaitļus otrajā kolonnā un ievietojiet rezultātu zem horizontālās līnijas:

Tagad atkārtojiet tikko veikto procesu ar jauno numuru zem horizontālās līnijas: reiziniet ar root, ievietojiet atbildi tukšajā vietā nākamajā kolonnā un pēc tam pievienojiet kolonnu, lai iegūtu jaunu numuru apakšējā rinda. Tas atstāj:

Un tad iziet procesu galīgo reizi.

Fakts, ka pēdējā atbilde ir nulle, norāda, ka jums ir derīga sakne, tādēļ, ja tā nav nulle, tad kaut kur esat kļūdījies.

Tagad apakšējā rindā ir norādīti trīs iekavu faktori otrajā iekavās, lai jūs varētu rakstīt:

Un tā:

Šis ir vissvarīgākais risinājuma posms, un jūs varat pabeigt no šī brīža daudzos veidos.

Kad esat noņēmis koeficientu, varat atrast risinājumu, izmantojot faktorizāciju. Sākot no iepriekš minētā soļa, tā būtībā ir tā pati problēma kā kvadrātvienādojuma vienādojuma faktorēšana, kas dažos gadījumos var būt izaicinājums. Tomēr izteicienam:

Ja atceraties, ka divi iekavās ievietotie skaitļi ir jāpieskaita, lai iegūtu otro koeficientu (7), un reiziniet, lai iegūtu trešo (12), ir diezgan viegli redzēt, ka šajā gadījumā:

Ja vēlaties, varat to pavairot, lai pārbaudītu. Nejūtaties drosmi, ja uzreiz nevarat redzēt faktorizāciju; tas tomēr prasa nedaudz prakses. Tas atstāj sākotnējo vienādojumu kā:

Pie kuriem jūs uzreiz varat redzēt risinājumus x = −2, 3 un 4 (tie visi ir koeficienti 24, sākotnējā konstante). Teorētiski var būt iespējams redzēt visu faktorizāciju, sākot no vienādojuma sākotnējās versijas, taču tas ir daudz izaicinošāks, tāpēc pirms mēģināt pamanīt a, labāk ir atrast vienu risinājumu no izmēģinājumiem un kļūdām un izmantot iepriekš minēto pieeju faktorizācija.

Ja jūs mēģināt redzēt faktorizāciju, varat izmantot kvadrātvienādojuma formulu:

Lai atrastu atlikušos risinājumus.

Lai gan tas ir daudz lielāks un ar to ir tik vienkārši rīkoties, ir vienkāršs kubisko vienādojumu risinātājs kubiskās formulas formā. Šī ir tāda pati kā kvadrātvienādojuma formula, kurā jūs vienkārši ievadāt savas vērtības a, b, c un d lai iegūtu risinājumu, bet ir tikai daudz ilgāks.

Tajā teikts, ka:

kur

un

Šīs formulas izmantošana ir laikietilpīga, taču, ja nevēlaties izmantot izmēģinājumu un kļūdu metodi kubisko vienādojumu risinājumiem un pēc tam kvadrātisko formulu, tas darbojas, kad to visu pārdzīvojat.