Katram algebras studentam augstākos līmeņos jāiemācās atrisināt kvadrātvienādojumus. Tie ir polinoma vienādojuma veidi, kas ietver jaudu 2, bet neviens nav lielāks, un tiem ir vispārējā forma:cirvis2 + bx + c= 0. Tos var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma formulu, faktorizējot vai aizpildot kvadrātu.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Vispirms meklējiet faktorizāciju, lai atrisinātu vienādojumu. Ja nav viena, betbkoeficients dalās ar 2, aizpildiet kvadrātu. Ja neviena pieeja nav vienkārša, izmantojiet kvadrātvienādojuma formulu.
Faktorizācijas izmantošana vienādojuma atrisināšanai
Faktorizācijā tiek izmantots fakts, ka kvadrātiskā vienādojuma standarta labā puse ir vienāda ar nulli. Tas nozīmē, ka, ja jūs varat sadalīt vienādojumu divos iekavās, kas reizināti ar otru, jūs varat izstrādāt risinājumus, domājot par to, kas padarītu katru iekavu vienādu ar nulli. Konkrēts piemērs:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Salīdziniet to ar standarta veidlapu:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Šajā piemērāa = 1, b= 6 unc= 9. Faktorizācijas uzdevums ir atrast divus skaitļus, kas summējas, lai iegūtu skaitli
Tātad, skaitļus attēlojot pēcdune, jūs meklējat skaitļus, kas atbilst:
d + e = b
Vai šajā gadījumā arb = 6:
d + e = 6
Un
d × e = c
Vai šajā gadījumā arc = 9:
d × e = 9
Koncentrējieties uz tādu skaitļu atrašanu, kuri ir faktoricun pēc tam pievienojiet tos kopā, lai redzētu, vai tie ir vienādib. Kad jums ir numuri, ievietojiet tos šādā formātā:
(x + d) (x + e)
Iepriekš minētajā piemērā abiduneir 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Ja pavairojat iekavas, jūs atkal iegūsiet sākotnējo izteicienu, un tā ir laba prakse, lai pārbaudītu faktorizāciju. Jūs varat palaist cauri šim procesam (reizinot iekavu pirmo, iekšējo, ārējo un pēc tam pēdējo daļu pēc kārtas - sīkāk skatiet resursus), lai redzētu to otrādi:
\ sākt {izlīdzināt} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {izlīdzināts}
Faktorizācija šo procesu faktiski veic pretēji, taču var būt grūti to izstrādāt pareizais veids, kā aprēķināt kvadrātvienādojumu, un šī metode nav ideāla katram kvadrātvienādojumam iemesls. Bieži nākas uzminēt kādu faktorizāciju un pēc tam to pārbaudīt.
Tagad problēma ir tā, ka kāds no iekavās esošajiem izteicieniem ir vienāds ar nulli, izvēloties vērtībux. Ja kāda no iekavām ir vienāda ar nulli, viss vienādojums ir vienāds ar nulli, un jūs esat atradis risinājumu. Paskaties uz pēdējo posmu [(x + 3) (x+ 3) = 0], un jūs redzēsiet, ka vienīgā reize, kad iekavās tiek nulle, ir jax= −3. Tomēr vairumā gadījumu kvadrātvienādojumiem ir divi risinājumi.
Faktorizācija ir vēl sarežģītāka, jaanav vienāds ar vienu, bet sākotnēji labāk koncentrēties uz vienkāršiem gadījumiem.
Kvadrāta aizpildīšana, lai atrisinātu vienādojumu
Kvadrāta aizpildīšana palīdz atrisināt kvadrātvienādojumus, kurus nevar viegli faktorizēt. Šī metode var darboties jebkuram kvadrātvienādojumam, taču daži vienādojumi tam der vairāk nekā citi. Pieeja ietver izteiksmes padarīšanu par perfektu kvadrātu un tā atrisināšanu. Vispārīgs ideāls kvadrāts paplašinās šādi:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, aizpildot kvadrātu, iegūstiet izteiksmi formā, kas atrodas iepriekšminētā labajā pusē. Vispirms sadaliet skaitlibpozīciju par 2 un pēc tam rezultātu kvadrātā. Tātad attiecībā uz vienādojumu:
x ^ 2 + 8x = 0
Koeficientsb= 8, tātadb÷ 2 = 4 un (b ÷ 2)2 = 16.
Pievienojiet to abām pusēm, lai iegūtu:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Ņemiet vērā, ka šī forma atbilst ideālajai kvadrātveida formai ard= 4, tātad 2d= 8 und2 = 16. Tas nozīmē ka:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Ievietojiet to iepriekšējā vienādojumā, lai iegūtu:
(x + 4) ^ 2 = 16
Tagad atrisiniet vienādojumux. Paņemiet kvadrātsakni no abām pusēm, lai iegūtu:
x + 4 = \ sqrt {16}
No abām pusēm atņemiet 4, lai iegūtu:
x = \ sqrt {16} - 4
Sakne var būt pozitīva vai negatīva, un negatīvās saknes iegūšana dod:
x = -4 - 4 = -8
Atrodiet citu risinājumu ar pozitīvo sakni:
x = 4 - 4 = 0
Tāpēc vienīgais risinājums, kas nav nulle, ir −8. Lai to apstiprinātu, pārbaudiet to ar sākotnējo izteicienu.
Kvadrātiskās formulas izmantošana vienādojuma atrisināšanai
Kvadrāta vienādojuma formula izskatās sarežģītāka nekā citas metodes, taču tā ir visuzticamākā metode, un jūs varat to izmantot jebkurā kvadrātvienādojumā. Vienādojumā tiek izmantoti standarta kvadrātvienādojuma simboli:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Un paziņo, ka:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Ievietojiet atbilstošos skaitļus viņu vietās un strādājiet ar formulu, ko atrisināt, atceroties izmēģināt gan kvadrātsaknes termiņa atņemšanu, gan pievienošanu, un atzīmējiet abas atbildes. Šim piemēram:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Tev ira = 1, b= 6 unc= 5. Tātad formula dod:
\ begin {izlīdzināts} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {aligned}
Pozitīvās zīmes iegūšana dod:
\ begin {izlīdzināts} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {izlīdzināts}
Negatīvās zīmes iegūšana dod:
\ begin {izlīdzināts} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {izlīdzināts}
Kuri ir divi vienādojuma risinājumi.
Kā noteikt labāko kvadrātvienādojumu atrisināšanas metodi
Pirms mēģināt ko citu, meklējiet faktorizāciju. Ja jūs varat pamanīt vienu, tas ir ātrākais un vienkāršākais veids, kā atrisināt kvadrātvienādojumu. Atcerieties, ka meklējat divus skaitļus, kuru summa irbkoeficientu un reizināt, lai iegūtuckoeficients. Šim vienādojumam:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Varat pamanīt, ka 2 + 3 = 5 un 2 × 3 = 6, tātad:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Unx= −2 vaix = −3.
Ja nevarat redzēt faktorizāciju, pārbaudiet, vaibkoeficients dalās ar 2, neizmantojot frakcijas. Ja tā ir, kvadrāta aizpildīšana, iespējams, ir vienkāršākais veids, kā atrisināt vienādojumu.
Ja neviena pieeja nešķiet piemērota, izmantojiet formulu. Šķiet, ka tā ir visgrūtākā pieeja, taču, ja jūs esat eksāmenā vai kā citādi virzījāt laiku, tas var padarīt procesu daudz mazāk stresa un daudz ātrāku.