Binomiālais sadalījums apraksta mainīgo X ja 1) ir noteikts skaitlis n mainīgā novērojumi; 2) visi novērojumi ir neatkarīgi viens no otra; 3) veiksmes varbūtība lpp katram novērojumam ir vienāds; un 4) katrs novērojums atspoguļo vienu no tieši diviem iespējamiem rezultātiem (tātad vārds "binomiāls" - domā "binārs"). Šī pēdējā kvalifikācija atšķir binomālos sadalījumus no Puasona sadalījumiem, kas pastāvīgi mainās, nevis diskrēti.
Šādu sadalījumu var uzrakstīt B(n, lpp).
Dota novērojuma varbūtības aprēķināšana
Sakiet vērtību k atrodas kaut kur gar binomālā sadalījuma grafiku, kas simetrisks attiecībā pret vidējo np. Lai aprēķinātu varbūtību, ka novērojumam būs šī vērtība, šis vienādojums jāatrisina:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
kur
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
"!" apzīmē faktoriālo funkciju, piemēram, 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Piemērs
Pieņemsim, ka basketbolists izpilda 24 soda metienus un viņa panākumu līmenis ir 75 procenti (lpp = 0.75). Kādas izredzes viņa trāpīs tieši 20 no 24 metieniem?
Vispirms aprēķiniet (n: k) sekojoši:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10 626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Tādējādi
P (20) = 10 626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Tāpēc šim spēlētājam ir 13,1 procentu iespēja realizēt tieši 20 no 24 soda metieniem atbilstoši intuīcijai iesakiet par spēlētāju, kurš parasti trāpītu 18 no 24 soda metieniem (viņas noteikto panākumu līmeņa dēļ 75 procenti).