Matemātikā secība ir jebkura skaitļu virkne, kas sakārtota pieaugošā vai dilstošā secībā. Secība kļūst par ģeometrisku secību, kad jūs varat iegūt katru skaitli, reizinot iepriekšējo skaitli ar kopēju koeficientu. Piemēram, 1., 2., 4., 8., 16. sērija... ir ģeometriska secība ar kopējo koeficientu 2. Ja reizināsiet jebkuru sērijas skaitli ar 2, iegūsiet nākamo skaitli. Turpretī 2., 3., 5., 8., 14., 22. secība... nav ģeometriska, jo starp skaitļiem nav kopēja faktora. Ģeometriskai secībai var būt daļējs kopfaktors, un tādā gadījumā katrs nākamais skaitlis ir mazāks nekā tas, kas atrodas pirms tā. 1, 1/2, 1/4, 1/8... ir piemērs. Tā kopējais faktors ir 1/2.
Fakts, ka ģeometriskai secībai ir kopīgs faktors, ļauj jums izdarīt divas lietas. Pirmais ir aprēķināt jebkuru nejaušu elementu secībā (ko matemātiķi labprāt dēvē par "nth "elements", un otrais ir atrast ģeometriskās secības summu līdznth elements. Apkopojot secību, starp katru terminu pāri ievietojot plus zīmi, jūs secību pārvēršat ģeometriskā sērijā.
N-tā elementa atrašana ģeometriskajā sērijā
Jebkuru ģeometrisko sēriju varat attēlot šādi:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
kur "a"ir pirmais termins sērijā un"r"ir kopīgais faktors. Lai to pārbaudītu, apsveriet sēriju, kurāa= 1 unr= 2. Jūs saņemat 1 + 2 + 4 + 8 + 16... tas strādā!
Kad tas ir izveidots, tagad ir iespējams secībā atvasināt n-tā termina formulu (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Eksponents irn- 1 nevisnlai secības pirmo terminu varētu rakstīt kāar0, kas ir vienāds ar "a."
Pārbaudiet to, aprēķinot piemēru sērijas 4. terminu.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Ģeometriskās secības summas aprēķināšana
Ja vēlaties summēt atšķirīgu secību, kas ir tāda, kuras kopējā deva ir lielāka par 1 vai mazāka par -1, to var izdarīt tikai līdz ierobežotam terminu skaitam. Ir iespējams aprēķināt bezgalīgas konverģences secības summu, kurai ir kopīga attiecība starp 1 un - 1.
Lai izstrādātu ģeometriskās summas formulu, vispirms apsveriet, ko jūs darāt. Jūs meklējat šādu papildinājumu sēriju kopsummu:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Katrs sērijas termins irark, unkiet no 0 līdzn− 1. Sērijas summas formula izmanto lielo sigmas zīmi - ∑, kas nozīmē visu terminu pievienošanu no (k= 0) līdz (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Lai to pārbaudītu, apsveriet ģeometriskās sērijas pirmo 4 terminu summu, kas sākas ar 1 un kuru kopējais koeficients ir 2. Iepriekšminētajā formulāa = 1, r= 2 unn= 4. Pievienojot šīs vērtības, iegūstat:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
To ir viegli pārbaudīt, pats pievienojot sērijas numurus. Patiesībā, kad jums ir nepieciešama ģeometriskās sērijas summa, skaitļus parasti ir vieglāk pievienot pašiem, ja ir tikai daži nosacījumi. Tomēr, ja sērijai ir daudz vārdu, ir daudz vieglāk izmantot ģeometriskās summas formulu.