Dažreiz ir jāatrod nenulles vektors, kas, reizinot ar kvadrātveida matricu, mums atgriezīs vektora daudzkārtni. Šo nulles vektoru sauc par "īpašvektoru". Īpašie vektori interesē ne tikai matemātiķus, bet arī citus tādās profesijās kā fizika un inženierzinātnes. Lai tos aprēķinātu, jums būs jāsaprot matricas algebra un determinanti.
Uzziniet un izprotiet "īpašvektora" definīciju. Tas tiek atrasts n x n kvadrātveida matricai A un arī a skalārā īpašvērtība, ko sauc par "lambda". Lambda ir attēlota ar grieķu burtu, bet šeit mēs to saīsināsim L. Ja ir nulle bez vektora x, kur Ax = Lx, šo vektoru x sauc par "A īpašvērtību".
Atrodiet matricas īpašvērtības, izmantojot raksturīgo vienādojumu det (A - LI) = 0. "Det" apzīmē noteicošo, un "I" ir identitātes matrica.
Aprēķiniet katras īpašvērtības īpašvektoru, atrodot eigenspace E (L), kas ir raksturīgā vienādojuma nulles telpa. E (L) bez nulles vektori ir A īpašie vektori. Tie tiek atrasti, pievienojot īpatnējos vektorus raksturīgajā matricā un atrodot pamatu A - LI = 0.
Aprēķiniet īpašvērtības, izmantojot raksturīgo vienādojumu. Det (A - LI) ir (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, kas ir raksturīgais polinoms. Risinot šo algebriski, mēs iegūstam L1 = 4 un L2 = 2, kas ir mūsu matricas īpašvērtības.
Aprēķinot nulles atstarpi, atrodiet īpašvektoru L = 4. Dariet to, raksturīgajā matricā ievietojot L1 = 4 un atrodot pamatu A - 4I = 0. To atrisinot, mēs atrodam x - y = 0 vai x = y. Tam ir tikai viens neatkarīgs risinājums, jo tie ir vienādi, piemēram, x = y = 1. Tāpēc v1 = (1,1) ir īpašvektors, kas aptver L1 = 4 īpatnējo telpu.
Atkārtojiet 6. darbību, lai atrastu Lv = 2 īpašvektoru. Mēs atrodam x + y = 0 vai x = --y. Tam ir arī viens neatkarīgs risinājums, teiksim, x = --1 un y = 1. Tāpēc v2 = (--1,1) ir īpašvektors, kas aptver L2 = 2 īpatnējo telpu.