Apļi ir visur reālajā pasaulē, tāpēc to rādiuss, diametrs un apkārtmērs ir nozīmīgi reālajā dzīvē. Bet ir arī citas apļu daļas - piemēram, sektori un leņķi -, kam ir nozīme arī ikdienas lietojumos. Piemēri ietver apļveida pārtikas, piemēram, kūku un pīrāgu, sektora izmērus, panorāmas rata nobraukto leņķi, riepas izmēru noteikšana konkrētam transportlīdzeklim un jo īpaši gredzena izmēra pielāgošana vai kāzas. Šo un vairāk iemeslu dēļ ģeometrijai ir arī vienādojumi un problēmu aprēķini, kas attiecas uz centrālajiem leņķiem, lokiem un apļa sektoriem.
Kas ir centrālais leņķis?
Centrālo leņķi definē kā leņķi, ko rada divi stari vai rādiusi, kas izstaro no apļa centra, un apļa centrs ir centrālā leņķa virsotne. Centrālie leņķi ir īpaši svarīgi, ja vienmērīgi jāsadala picas vai jebkurš cits apļveida ēdiens noteiktā skaitā cilvēku. Pieņemsim, ka restorānā, kur dalīt lielu picu un lielu kūku, ir pieci cilvēki. Kādā leņķī ir jāsadala gan pica, gan kūka, lai visiem nodrošinātu vienādu šķēli? Tā kā aplī ir 360 grādi, aprēķins kļūst 360 grādi, dalīts ar 5, lai sasniegtu 72 grādus, tā, lai katrai picas vai kūkas šķēlītei būtu centrālais leņķis vai teta (θ), kuras izmērs ir 72 grādi.
Centrālā leņķa noteikšana pēc loka garuma
Apļa loka apzīmē apļa apkārtmēra “daļu”. Loka garums ir šīs “daļas” garums. Ja jūs iedomājaties picas šķēli, nozares apgabals var būt vizualizēts kā visa picas šķēle, bet loka garums ir garozas ārējās malas garums konkrēta šķēle. Pēc loka garuma var aprēķināt centrālo leņķi. Patiešām, viena formula, kas var palīdzēt noteikt centrālo leņķi, norāda, ka loka garums (-i) ir vienāds ar rādiusu un centrālo leņķi vai
s = r × θ
kur leņķis, teta, jāmēra radiānos. Tātad, lai atrisinātu centrālo leņķi theta, loka garums ir jāsadala tikai ar rādiusu vai
\ frac {s} {r} = θ
Lai ilustrētu, ja loka garums ir 5,9 un rādiuss ir 3,5329, tad centrālais leņķis kļūst par 1,67 radiāni. Cits piemērs ir, ja loka garums ir 2 un rādiuss ir 2, centrālais leņķis kļūst par 1 radiānu. Ja vēlaties konvertēt radiānus grādos, atcerieties, ka 1 radiāns ir vienāds ar 180 grādiem, dalīts ar π vai 57,2958 grādiem. Un otrādi, ja vienādojums prasa konvertēt grādus atpakaļ radiānos, tad vispirms reiziniet ar π un pēc tam daliet ar 180 grādiem.
Centrālā leņķa noteikšana no nozares laukuma
Vēl vienu noderīgu formulu centrālā leņķa noteikšanai nodrošina sektora zona, ko atkal var vizualizēt kā picas šķēli. Šo konkrēto formulu var redzēt divējādi. Pirmajam centrālais leņķis tiek mērīts grādos, lai sektora laukums būtu vienāds ar π reizinājumu rādiuss-kvadrātā un pēc tam reizināts ar centrālā leņķa daudzumu grādos, dalītu ar 360 grādi. Citiem vārdiem sakot:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {centrālais leņķis grādos}} {360 \ text {grādi}} = \ text {sektora apgabals}
Ja centrālo leņķi mēra radiānos, formula tā vietā kļūst:
\ text {sector area} = r ^ 2 × \ frac {\ text {centrālais leņķis radiānos}} {2}
Formulu pārkārtošana palīdzēs atrisināt centrālā leņķa jeb teta vērtību. Apsveriet sektora laukumu 52,3 kvadrātcentimetrus ar rādiusu 10 centimetrus. Kāds būtu tā centrālais leņķis grādos? Aprēķini sākas ar sektora platību 52,3 kvadrātcentimetri, kas ir vienāds ar:
\ frac {θ} {360 \ teksts {grādi}} × πr ^ 2
Kopš rādiusa (r) ir vienāds ar 10, visu vienādojumu var uzrakstīt šādi:
\ frac {52,3} {100π} × 360
lai teta varētu rakstīt šādi:
\ frac {52,3} {314} × 360
Tādējādi galīgā atbilde kļūst par 60 grādu centrālo leņķi.