Svārsta kustības likumi

Svārpām ir interesantas īpašības, kuras fiziķi izmanto, lai aprakstītu citus objektus. Piemēram, planētu orbīta notiek pēc līdzīga modeļa, un šūpojoties uz šūpoles komplekta, var šķist, ka esat uz svārsta. Šīs īpašības nāk no virknes likumu, kas regulē svārsta kustību. Apgūstot šos likumus, jūs varat sākt saprast dažus fizikas un kustības principus kopumā.

Svārsta kustību var aprakstīt, izmantojot

kurāθapzīmē leņķi starp virkni un vertikālo līniju pa centru,tapzīmē laiku, unTir periods, laiks, kas nepieciešams, lai notiktu viss svārsta kustības cikls (mērīts ar1 / f), svārsta kustības virzienam.

​Vienkārša harmoniska kustībavai kustību, kas apraksta, kā objekta ātrums svārstās proporcionāli nobīdes lielumam no līdzsvara, var izmantot, lai aprakstītu svārsta vienādojumu. Svārsta boba šūpošanos notur kustībā šis spēks, kas iedarbojas uz to, virzoties uz priekšu un atpakaļ.

•••Syed Hussain Ather

Likumi, kas regulē svārsta kustību, noveda pie svarīga īpašuma atklāšanas. Fiziķi spēkus sadala vertikālā un horizontālā komponentā. Svārsta kustībā

Tas parāda, ka svārsta masai nav nozīmes tā kustībai, bet horizontālās virknes spriedze ir. Vienkāršā harmoniskā kustība ir līdzīga apļveida kustībai. Jūs varat aprakstīt objektu, kas pārvietojas pa apļveida ceļu, kā parādīts iepriekš redzamajā attēlā, nosakot leņķi un rādiusu, kas tam jāveic attiecīgajā apļveida ceļā. Pēc tam, izmantojot trīsstūra trigonometriju starp apļa centru, objekta pozīciju un pārvietojumu abos virzienos x un y, jūs varat atrast vienādojumusx = rsin (θ)uny = rcos (θ).​

Objekta viendimensiju vienādojumu vienkāršā harmoniskā kustībā dodx = r cos (ωt).Jūs varat vēl aizstātApriekšrkurāAiramplitūda, maksimālais pārvietojums no objekta sākotnējās pozīcijas.

Leņķiskais ātrumsωattiecībā uz laikutšiem leņķiemθdodθ = ωt. Ja jūs aizstājat vienādojumu, kas leņķa ātrumu saista ar frekvencif​, ​ω = 2​​πf, jūs varat iedomāties šo apļveida kustību, tad kā svārsta daļu, kas šūpojas uz priekšu un atpakaļ, iegūtais vienkāršais harmoniskās kustības vienādojums ir

•••Syed Hussain Ather

Svārsti, tāpat kā masas uz avota, ir to piemērivienkāršie harmoniskie oscilatori: Ir atjaunojošs spēks, kas palielinās atkarībā no svārsta nobīdes, un to kustību var aprakstīt, izmantojotvienkāršs harmonisko oscilatoru vienādojums​

kurāθapzīmē leņķi starp virkni un vertikālo līniju pa centru,tapzīmē laiku unTirperiodā, laiks, kas vajadzīgs, lai iestātos viss svārsta kustības cikls (mērīts ar1 / f), svārsta kustības virzienam.

​θ_maksir vēl viens veids, kā noteikt maksimālo leņķa svārstību svārsta kustības laikā, un ir vēl viens veids, kā noteikt svārsta amplitūdu. Šis solis ir paskaidrots zemāk sadaļā "Vienkāršā svārsta definīcija".

Vēl viena vienkāršās svārsta likumu implikācija ir tāda, ka svārstību periods ar nemainīgu garumu nav atkarīgs no virknes galā esošā objekta lieluma, formas, masas un materiāla. Tas ir skaidri parādīts, izmantojot vienkāršo svārsta atvasinājumu un iegūto vienādojumu.

Jūs varat noteikt a vienādojumuvienkārša svārsta, definīcija, kas ir atkarīga no vienkārša harmoniskā oscilatora, sākot no soļu sērijas, kas sākas ar svārsta kustības vienādojumu. Tā kā svārsta smaguma spēks ir vienāds ar svārsta kustības spēku, jūs varat tos iestatīt vienādus, izmantojot Ņūtona otro likumu ar svārsta masu.M, virknes garumsL, leņķisθ,gravitācijas paātrinājumsgun laika intervālst​.

•••Syed Hussain Ather

Jūs iestatījāt Ņūtona otro likumu, kas vienāds ar inerces brīdiEs = kungs²kādai masaimun apļveida kustības rādiuss (šajā gadījumā virknes garums)rreizes leņķiskais paātrinājumsα​.

1. ​ΣF = Ma: Ņūtona otrais likums nosaka, ka neto spēksΣFuz objekta ir vienāds ar objekta masu, kas reizināta ar paātrinājumu.
2. ​Ma = I α: Tas ļauj iestatīt gravitācijas paātrinājuma spēku (-Mg grēks (θ) L)vienāds ar rotācijas spēku
   
3. ​-Mg grēks (θ) L = I α​: Gravitācijas dēļ var iegūt vertikālā spēka virzienu (-Mg), aprēķinot paātrinājumu kāgrēks (θ) Ljagrēks (θ) = d / Lpar kādu horizontālu pārvietojumudun leņķisθ​ lai ņemtu vērā virzienu.
   
4. ​-Mg grēks (θ) L = ML² α: Rotējošā ķermeņa inerces momenta vienādojumu aizstāj ar virknes garumu L kā rādiusu.
   
5. ​-Mg grēks (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Ņem vērā leņķisko paātrinājumu, aizstājot leņķa otro atvasinājumu attiecībā uz laikuα.Šim solim nepieciešami aprēķini un diferenciālvienādojumi.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: To var iegūt, pārkārtojot vienādojuma abas puses
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Jūs varat tuvinātgrēks (θ)kāθvienkāršas svārsta vajadzībām ļoti mazos svārstību leņķos
   
8. ​θ (t) = θ_makscos (t (L / g)²): Kustības vienādojumam ir šāds risinājums. To var pārbaudīt, ņemot šī vienādojuma otro atvasinājumu un strādājot, lai iegūtu 7. darbību.

Ir arī citi veidi, kā padarīt vienkāršu svārsta atvasinājumu. Izprotiet katra soļa nozīmi, lai redzētu, kā viņi ir saistīti. Izmantojot šīs teorijas, jūs varat aprakstīt vienkāršu svārsta kustību, taču jāņem vērā arī citi faktori, kas var ietekmēt vienkāršās svārsta teoriju.

Ja salīdzina šī atvasinājuma rezultātu

vienkāršā harmoniskā oscilatora vienādojumamby nosakot tos vienādus viens otram, jūs varat iegūt perioda T vienādojumu:

Ievērojiet, ka šis vienādojums nav atkarīgs no masasMsvārsta amplitūdaθ_maks, ne arī laikāt. Tas nozīmē, ka periods nav atkarīgs no masas, amplitūdas un laika, bet tā vietā ir atkarīgs no virknes garuma. Tas dod jums īsu veidu, kā izteikt svārsta kustību.

Izmantojot perioda vienādojumu, jūs varat pārkārtot vienādojumu, lai iegūtu

un aizstāj ar 1 sekTun9,8 m / s²priekšgiegūtL =0,0025 m. Paturiet prātā, ka šie vienkāršās svārsta teorijas vienādojumi pieņem, ka virknes garums ir bez berzes un bez masas. Lai ņemtu vērā šos faktorus, būtu nepieciešami sarežģītāki vienādojumi.

Jūs varat pavilkt svārsta aizmugures leņķiθļaut tam šūpoties turp un atpakaļ, lai redzētu, kā tas svārstās tāpat kā pavasaris. Vienkārša svārsta gadījumā to var aprakstīt, izmantojot vienkārša harmoniskā oscilatora kustības vienādojumus. Kustības vienādojums labi darbojas mazākām leņķa unamplitūda, maksimālais leņķis, jo vienkāršais svārsta modelis balstās uz tuvinājumu, kasgrēks (θ)​ ≈ ​θkādam svārsta leņķimθ.Tā kā vērtību leņķi un amplitūdas kļūst lielākas par aptuveni 20 grādiem, šī tuvināšana nedarbojas tik labi.

Izmēģiniet paši. Svārsts, kas šūpojas ar lielu sākuma leņķiθnetiks svārstīti tik regulāri, lai ļautu tā aprakstam izmantot vienkāršu harmonisko oscilatoru. Mazākā sākotnējā leņķīθ, svārsts daudz vieglāk tuvojas regulārai, svārstīgu kustībai. Tā kā svārsta masai nav nekādas nozīmes tā kustībai, fiziķi ir pierādījuši, ka visām svārstībām ir vienāds svārstību periods leņķi - leņķis starp svārsta centru tā augstākajā punktā un svārsta centru apstāšanās stāvoklī - mazāks par 20 grādi.

Visiem kustības svārsta praktiskajiem mērķiem svārsts galu galā palēnināsies un apstāsies, pateicoties berze starp auklu un tās nostiprināto punktu virs, kā arī gaisa pretestības dēļ starp svārstu un gaisu ap to.

Praktiskiem svārsta kustības piemēriem periods un ātrums būtu atkarīgs no izmantotā materiāla veida, kas izraisītu šos berzes un gaisa pretestības piemērus. Ja jūs veicat aprēķinus par svārsta svārstību teorētisko uzvedību, neņemot vērā šos spēkus, tad tas atspoguļos svārstu, kas svārstās bezgalīgi.

Ņūtona pirmais likums nosaka objektu ātrumu, reaģējot uz spēkiem. Likums nosaka, ka, ja objekts pārvietojas ar noteiktu ātrumu un taisnā līnijā, tas turpinās pārvietoties ar šo ātrumu un taisnā līnijā bezgalīgi, ja vien uz to nedarbojas cits spēks. Iedomājieties, ka metat bumbu taisni uz priekšu - bumba atkal un atkal apietu zemi, ja gaisa pretestība un gravitācija uz to nerīkotos. Šis likums parāda, ka, tā kā svārsts virzās uz otru, nevis uz augšu un uz leju, tam nav iedarbības uz augšu un uz leju.

Ņūtona otro likumu izmanto, lai noteiktu neto spēku uz svārsta, nosakot gravitācijas spēku, kas vienāds ar virknes spēku, kas atkal uzvelk svārstu. Iestatot šos vienādojumus vienādiem ar otru, var iegūt svārsta kustības vienādojumus.

Ņūtona trešais likums nosaka, ka katrai darbībai ir vienāda spēka reakcija. Šis likums darbojas ar pirmo likumu, kas parāda, ka, lai gan masa un smagums atceļ virknes spriegojuma vektora vertikālo komponentu, nekas neatceļ horizontālo komponentu. Šis likums parāda, ka spēki, kas darbojas uz svārsta, var viens otru atcelt.

Fiziķi izmanto Ņūtona pirmo, otro un trešo likumu, lai pierādītu, ka horizontālā virknes spriedze pārvieto svārstu, neņemot vērā masu vai smagumu. Vienkāršas svārsta likumi seko trīs Ņūtona kustības likumu idejām.