Daugianario šaknys taip pat vadinamos jo nuliais, nes šaknys yraxreikšmės, kuriomis funkcija lygi nuliui. Kalbant apie šaknų paiešką, turite keletą būdų; faktoringas yra metodas, kurį naudosite dažniausiai, nors grafikai taip pat gali būti naudingi.
Kiek šaknų?
Nagrinėkite aukščiausio laipsnio polinomo terminą - tai yra terminas su didžiausiu rodikliu. Šis rodiklis yra tai, kiek šaknų turės polinomas. Taigi, jei didžiausias jūsų polinomo rodiklis yra 2, jis turės dvi šaknis; jei didžiausias rodiklis yra 3, jis turės tris šaknis; ir taip toliau.
Įspėjimai
-
Yra gaudymas: daugianario šaknys gali būti tikros ar įsivaizduojamos. „Tikrosios“ šaknys yra aibės, vadinamos tikraisiais skaičiais, nariai, kurie šiuo matematikos karjeros momentu yra visi skaičiai, su kuriais esate įpratę tvarkytis. Įsivaizduojamų skaičių įvaldymas yra visiškai kita tema, todėl kol kas atsiminkite tik tris dalykus:
- „Įsivaizduojamos“ šaknys išauga, kai turite neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, √ (-9).
- Įsivaizduojamos šaknys visada būna poros.
- Daugianario šaknys gali būti tikros ar įsivaizduojamos. Taigi, jei turite 5 laipsnio polinomą, jis gali turėti penkias tikras šaknis, jis gali turėti tris tikras šaknis ir dvi įsivaizduojamas šaknis ir pan.
Raskite šaknis pagal faktoringą: 1 pavyzdys
Pats universaliausias būdas rasti šaknis yra kiek įmanoma labiau apskaičiuoti daugianarį, tada kiekvieną terminą nustatyti lygų nuliui. Tai yra daug prasmingiau, kai pateiksite keletą pavyzdžių. Apsvarstykite paprastą daugianarįx2 – 4x:
Trumpas tyrimas rodo, kad galite atsižvelgtixiš abiejų polinomo terminų, o tai suteikia jums:
x (x - 4)
Kiekvieną terminą nustatykite į nulį. Tai reiškia, kad reikia išspręsti dvi lygtis:
x = 0
yra pirmasis nulis nustatytas terminas ir
x - 4 = 0
yra antrasis terminas nustatytas į nulį.
Jūs jau turite pirmosios kadencijos sprendimą. Jeix= 0, tada visa išraiška lygi nuliui. Taigix= 0 yra viena iš daugianario šaknų arba nulių.
Apsvarstykite antrąją kadenciją ir išspręskitex. Jei prie abiejų pusių pridėsite 4, turėsite:
x - 4 + 4 = 0 + 4
kuris supaprastina:
x = 4
Taigi jeix= 4, tada antrasis faktorius yra lygus nuliui, o tai reiškia, kad visas polinomas taip pat lygus nuliui.
Kadangi originalus polinomas buvo antrojo laipsnio (aukščiausias rodiklis buvo du), jūs žinote, kad šiam polinomui gali būti tik dvi šaknys. Juos jau radote, todėl tereikia juos išvardyti:
x = 0, x = 4
Raskite šaknis faktoringu: 2 pavyzdys
Čia yra dar vienas pavyzdys, kaip rasti šaknis faktoringu, naudojant kelyje įmantrią algebrą. Apsvarstykite daugianariox4 – 16. Greitas žvilgsnis į jo rodiklius rodo, kad šiam polinomui turėtų būti keturios šaknys; dabar atėjo laikas juos rasti.
Ar pastebėjote, kad šį polinomą galima perrašyti kaip kvadratų skirtumą? Taigi vietojx4 - 16, turite:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Kuris, naudojant kvadratų skirtumo formulę, apskaičiuojamas taip:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Pirmasis terminas vėlgi yra kvadratų skirtumas. Taigi, jei nebegalite daugiau skaičiuoti dešinėje esančio termino, kairiuoju terminu galite atsižvelgti dar vienu žingsniu:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Dabar atėjo laikas rasti nulius. Greitai paaiškėja, kad jeix= 2, pirmasis koeficientas bus lygus nuliui, taigi visa išraiška bus lygi nuliui.
Panašiai, jeix= −2, antrasis faktorius bus lygus nuliui, taigi ir visa išraiška.
Taigix= 2 irx= −2 yra abu šio polinomo nuliai arba šaknys.
Bet kaip su ta paskutine kadencija? Kadangi jis turi „2“ rodiklį, jis turėtų turėti dvi šaknis. Bet jūs negalite atsižvelgti į šią išraišką naudodami realius skaičius, prie kurių esate įpratę. Turėtumėte naudoti labai pažangią matematinę sąvoką, vadinamą įsivaizduojamaisiais skaičiais arba, jei norite, sudėtiniais skaičiais. Tai toli už jūsų dabartinės matematikos praktikos ribų, todėl kol kas pakanka pažymėti, kad turite dvi tikras šaknis (2 ir −2) ir dvi įsivaizduojamas šaknis, kurias paliksite neapibrėžtas.
Raskite šaknis grafiškai
Taip pat galite rasti arba bent įvertinti šaknis, pateikdami grafiką. Kiekvienas šaknis reiškia vietą, kur funkcijos grafikas kertaxašis. Taigi, jei pavaizduosite liniją ir pažymėsitexkoordinatės, kur linija kertaxašį, galite įterpti įvertintąxtų taškų reikšmes į jūsų lygtį ir patikrinkite, ar jas teisingai pritaikėte.
Apsvarstykite pirmąjį polinomo pavyzdį, kurį dirbotex2 – 4x. Atidžiai ištraukę pamatysite, kad linija kertaxašis tiesx= 0 irx= 4. Jei kiekvieną iš šių reikšmių įvesite į pradinę lygtį, gausite:
0^2 - 4(0) = 0
taipx= 0 buvo galiojantis šio polinomo nulis arba šaknis.
4^2 - 4(4) = 0
taipx= 4 taip pat yra tinkamas nulis arba šaknis šiam polinomui. Kadangi daugianaris buvo 2 laipsnio, žinote, kad galite nustoti ieškoti radę dvi šaknis.