Matematikoje kartais kyla poreikis įrodyti, ar funkcijos linijine prasme yra priklausomos ar nepriklausomos viena nuo kitos. Jei turite dvi linijiškai priklausomas funkcijas, pavaizdavus tų funkcijų lygtis, gaunami taškai, kurie sutampa. Funkcijos su nepriklausomomis lygtimis nepersidengia grafikuojant. Vienas iš būdų nustatyti, ar funkcijos yra priklausomos, ar nepriklausomos, yra apskaičiuoti funkcijų Wronskianą.
Kas yra wronskietis?
Dviejų ar daugiau funkcijų Wronskian yra tai, kas vadinama determinantu, kuri yra speciali funkcija, naudojama matematiniams objektams palyginti ir tam tikriems faktams apie juos įrodyti. Wronskiano atveju determinantas naudojamas įrodyti priklausomybę ar nepriklausomumą tarp dviejų ar daugiau linijinių funkcijų.
Vronskų matrica
Norint apskaičiuoti linijinių funkcijų Wronskianą, reikia išspręsti funkcijas dėl tos pačios vertės matricoje, kurioje yra funkcijos ir jų išvestinės. To pavyzdys yra
W (f, g) (t) = \ prasideda {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
kuris suteikia vronskui dvi funkcijas (firg), kurie yra išspręsti dėl vienos vertės, kuri yra didesnė už nulį (t); galite pamatyti dvi funkcijasf(t) irg(t) viršutinėje matricos eilutėje, ir dariniusf'(t) irg'(t) apatinėje eilutėje. Atkreipkite dėmesį, kad Wronskian galima naudoti ir didesniems rinkiniams. Pavyzdžiui, jei išbandote tris funkcijas su Wronskian, galite užpildyti matricą su funkcijomis ir išvestinėmisf(t), g(t) irh(t).
Wronskiano sprendimas
Kai funkcijos bus išdėstytos matricoje, padauginkite kiekvieną funkciją iš kitos funkcijos išvestinės ir atimkite pirmąją reikšmę iš antrosios. Tai suteikia jums aukščiau pateiktą pavyzdį
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Jei galutinis atsakymas lygus nuliui, tai rodo, kad abi funkcijos yra priklausomos. Jei atsakymas yra kažkas kito, o ne nulis, funkcijos yra nepriklausomos.
Wronskian pavyzdys
Tarkime, kad geriau suprastumėte, kaip tai veikia
f (t) = x + 3 \ tekstas {ir} g (t) = x - 2
Naudojant reikšmęt= 1, galite išspręsti funkcijas kaip
f (1) = 4 \ tekstas {ir} g (1) = -1
Kadangi tai yra pagrindinės tiesinės funkcijos, kurių nuolydis yra 1, abiejų išvestinėsf(t) irg(t) lygus 1. Kryžminis vertybių dauginimas suteikia
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
kuris pateikia galutinį rezultatą 5. Nors linijinės funkcijos turi vienodą nuolydį, jos yra nepriklausomos, nes jų taškai nesutampa. Jeif(t) būtų gavęs rezultatą −1 vietoj 4, wronskietis būtų pateikęs nulį, o nurodytų priklausomybę.