Kaip rasti darinius

Viena iš svarbių operacijų, kurias atliekate skaičiuojant, yra darinių paieška. Funkcijos išvestinė dar vadinama tos funkcijos kitimo greičiu. Pavyzdžiui, jei x (t) yra automobilio padėtis bet kuriuo metu t, tada x išvestinė, kuri parašyta dx / dt, yra automobilio greitis. Taip pat išvestinę galima vizualizuoti kaip funkcijos grafiko liestinės tiesės nuolydį. Teoriniu lygiu taip matematikai randa darinius. Praktiškai matematikai naudoja pagrindinių taisyklių rinkinius ir paieškos lenteles.

Tiesės tarp dviejų taškų nuolydis yra y reikšmių padidėjimas arba skirtumas, padalytas iš eigos, arba x verčių skirtumas. Funkcijos y (x) nuolydis tam tikrai x reikšmei apibrėžiamas kaip tiesės, kuri liečia funkciją taške [x, y (x)], nuolydis. Norėdami apskaičiuoti nuolydį, sukursite tiesę tarp taško [x, y (x)] ir netoliese esančio taško [x + h, y (x + h)], kur h yra labai mažas skaičius. Šios eilutės bėgimas arba x vertės pokytis yra h, o y vertės padidėjimas arba pokytis yra y (x + h) - y (x). Taigi, y (x) nuolydis taške [x, y (x)] yra maždaug lygus [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Norėdami tiksliai gauti nuolydį, apskaičiuokite nuolydžio vertę, kai h vis mažėja, iki „ribos“, kur ji eina iki nulio. Tokiu būdu apskaičiuotas nuolydis yra y (x) darinys, kuris rašomas kaip y ’(x) arba dy / dx.

Galite naudoti nuolydžio / ribos metodą, kad apskaičiuotumėte išvestines funkcijas, kuriose y yra lygus x a galiai arba y (x) = x ^ a. Pavyzdžiui, jei y yra lygus x kubeliais, y (x) = x ^ 3, tada dy / dx yra riba, nes h eina į nulį [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Išplėtus (x + h) ^ 3, gaunamas [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, kuris padalijamas iki 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2, padalijus pagal h. Riboje, kai h eina į nulį, visi terminai, kuriuose yra h, taip pat eina į nulį. Taigi, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Tai galite padaryti kitoms nei 3 reikšmėms ir apskritai galite parodyti, kad d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Daugelį funkcijų galima parašyti kaip vadinamąsias galios eilutes, kurios yra begalinio skaičiaus terminų suma, kur kiekvienas yra C (n) x ^ n formos, kur x yra kintamasis, n yra sveikas skaičius ir C (n) yra konkretus skaičius kiekvienai reikšmei n. Pavyzdžiui, sinuso funkcijos galios eilutė yra Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., kur „...“ reiškia terminus, tęsiamus iki begalybės. Jei žinote funkcijos galios eilutes, galite naudoti galios x ^ n išvestinę, kad apskaičiuotumėte funkcijos išvestinę. Pavyzdžiui, Sin (x) darinys yra lygus 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., kuris atsitinka kaip Cos (x) galios eilutė.

Pagrindinių funkcijų, tokių kaip galios, tokios kaip x ^ a, eksponentinės funkcijos, žurnalo funkcijos ir trigimo funkcijos, dariniai randami naudojant nuolydžio / ribos metodą, galios serijos metodą ar kitus metodus. Šie dariniai išvardyti lentelėse. Pavyzdžiui, galite sužinoti, ar Sin (x) darinys yra Cos (x). Kai sudėtingos funkcijos yra pagrindinių funkcijų deriniai, jums reikia specialių taisyklių, tokių kaip grandinės taisyklė ir produkto taisyklė, kurios taip pat pateikiamos lentelėse. Pavyzdžiui, jūs naudojate grandinės taisyklę, kad nustatytumėte, jog Sin (x ^ 2) darinys yra 2xCos (x ^ 2). Naudodami produkto taisyklę nustatote, kad xSin (x) darinys yra xCos (x) + Sin (x). Naudodamiesi lentelėmis ir paprastomis taisyklėmis, galite rasti bet kurios funkcijos išvestinę. Tačiau kai funkcija yra labai sudėtinga, mokslininkai kartais kreipiasi pagalbos į kompiuterines programas.