Kvadratinių lygčių faktoringo gudrybės

Kvadratinės lygtys yra formulės, kurias galima parašyti forma Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Kartais kvadratinę lygtį galima supaprastinti faktoringu arba išreiškiant lygtį kaip atskirų terminų sandaugą. Tai gali padėti lengviau išspręsti lygtį. Kartais gali būti sunku nustatyti veiksnius, tačiau yra gudrybių, kurios gali palengvinti procesą.

Nagrinėkite kvadratinę lygtį, kad nustatytumėte, ar yra skaičius ir (arba) kintamasis, galintys padalinti kiekvieną lygties terminą. Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Didžiausias skaičius, kurį galima tolygiai padalyti į kiekvieną lygties terminą, yra 2, taigi 2 yra didžiausias bendras faktorius (GKF).

Padalinkite kiekvieną lygties terminą iš GKF ir padauginkite visą lygtį iš GKF. Pavyzdžio lygtyje 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, tai reikštų 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Supaprastinkite išraišką, užpildydami kiekvieno termino padalijimą. Galutinėje lygtyje neturėtų būti trupmenų. Pavyzdyje tai reikštų 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Nagrinėkite kvadratinę lygtį, kad sužinotumėte, ar ji yra Ax ^ 2 + 0x - C = 0, kur A = y ^ 2 ir C = z ^ 2. Jei taip yra, kvadratinė lygtis išreiškia dviejų kvadratų skirtumą. Pavyzdžiui, lygtyje 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 ir C = 9 = 3 ^ 2, taigi y = 2 ir z = 3.

Įtraukite lygtį į formą (yx + z) (yx - z) = 0. Pavyzdžio lygtyje y = 2 ir z = 3; todėl faktorinė kvadratinė lygtis yra (2x + 3) (2x - 3) = 0. Tai visada bus faktūrinė kvadratinės lygties forma, kuri yra kvadratų skirtumas.

Ištirkite kvadratinę lygtį, kad pamatytumėte, ar ji yra puikus kvadratas. Jei kvadratinė lygtis yra tobulas kvadratas, ją galima parašyti forma y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, pavyzdžiui, lygtį 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, kurią galima perrašyti kaip (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. Šiuo atveju y = 2x ir z = 3.

Patikrinkite, ar 2yz terminas yra teigiamas. Jei terminas yra teigiamas, tobulos kvadratinės kvadratinės lygties veiksniai visada yra (y + z) (y + z). Pavyzdžiui, aukščiau pateiktoje lygtyje 12x yra teigiamas, todėl veiksniai yra (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Patikrinkite, ar 2yz terminas yra neigiamas. Jei terminas yra neigiamas, veiksniai visada yra (y - z) (y - z). Pavyzdžiui, jei aukščiau pateiktoje lygtyje būtų terminas -12x, o ne 12x, veiksniai būtų (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Nustatykite kvadratinės lygties faktoriaus formą rašydami (vx + w) (yx + z) = 0. Prisiminkime FOIL dauginimo taisykles (pirma, išorė, vidus, paskutinis). Kadangi pirmasis kvadratinės lygties terminas yra Ax ^ 2, abu lygties veiksniai turi apimti x.

Išspręskite v ir y, atsižvelgdami į visus kvadratinės lygties A veiksnius. Jei A = 1, tada ir v, ir y visada bus 1. Pavyzdyje lygtis x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, taigi v ir y gali būti išspręsti faktorinėje lygtyje, kad gautų (1x + w) (1x + z) = 0.

Nustatykite, ar w ir z yra teigiami, ar neigiami. Taikomos šios taisyklės: C = teigiamas ir B = teigiamas; abu veiksniai turi + ženklą C = teigiamas ir B = neigiamas; abu veiksniai turi - ženklą C = neigiamą ir B = teigiamą; koeficientas, kurio vertė didžiausia, turi + ženklą C = neigiamą ir B = neigiamą; koeficientas, kurio vertė didžiausia, turi ženklą. 2 veiksmo lygties pavyzdyje B = -9 ir C = +8, abu lygties veiksniai turės ženklus, o faktoriaus lygtį galima parašyti kaip (1x - w) (1x - z) = 0.

Sudarykite visų C ​​veiksnių sąrašą, kad rastumėte w ir z reikšmes. Ankstesniame pavyzdyje C = 8, taigi koeficientai yra 1 ir 8, 2 ir 4, -1 ir -8 bei -2 ir -4. Veiksniai turi sudaryti B, kuris pavyzdžio lygtyje yra -9, taigi w = -1 ir z = -8 (arba atvirkščiai), o mūsų lygtis yra visiškai atsižvelgta į (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Sumažinkite lygtį iki paprasčiausios formos, naudodami aukščiau išvardytą didžiausio bendro faktoriaus metodą. Pavyzdžiui, lygtyje 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 GKF yra 9, todėl lygtis supaprastėja iki 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Nubrėžkite langelį ir padalykite jį į lentelę su dviem eilutėmis ir dviem stulpeliais. Įdėkite supaprastintos lygties Ax ^ 2 1 eilutės 1 stulpelyje ir C supaprastintos lygties 2 eilutės 2 stulpelyje.

Padauginkite A iš C ir raskite visus produkto veiksnius. Ankstesniame pavyzdyje A = 1 ir C = -10, taigi produktas yra (1) (- 10) = -10. Veiksniai -10 yra -1 ir 10, -2 ir 5, 1 ir -10 bei 2 ir -5.

Nurodykite, kuris iš produkto veiksnių yra AC. Pavyzdyje B = 3. Veiksniai -10, sudarantys 3, yra -2 ir 5.

Padauginkite kiekvieną iš nustatytų veiksnių iš x. Ankstesniame pavyzdyje tai reikštų -2x ir 5x. Įdėkite šiuos du naujus terminus į dvi tuščias diagramos vietas, kad lentelė atrodytų taip:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Raskite kiekvienos laukelio eilutės ir stulpelio GCF. Pavyzdyje viršutinės eilutės CGF yra x, o apatinėje eilutėje - -2. Pirmojo stulpelio GKF yra x, o antrojo - 5.

Parašykite faktoriaus lygtį forma (w + v) (y + z), naudodami koeficientus, nurodytus diagramos eilutėse w ir v, ir koeficientus, nustatytus iš diagramos stulpelių y ir z. Jei 1 veiksme lygtis buvo supaprastinta, nepamirškite į lygtinę išraišką įtraukti lygties GKF. Pavyzdžio atveju faktoriaus lygtis bus 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Prieš pradėdami bet kurį iš aprašytų metodų, įsitikinkite, kad lygtis yra standartinės kvadratinės formos.

Ne visada lengva nustatyti tobulą kvadratą ar kvadratų skirtumą. Jei greitai pamatysite, kad kvadratinė lygtis, kurią bandote atsižvelgti, yra viena iš šių formų, tai gali būti didelė pagalba. Tačiau nepraleiskite daug laiko bandydami tai išsiaiškinti, nes kiti metodai gali būti greitesni.

Visada patikrinkite savo darbą daugindami veiksnius naudodami FOIL metodą. Veiksniai visada turėtų būti dauginami atgal į pradinę kvadratinę lygtį.