„Algebra“ dažnai supaprastina posakius, tačiau kai kurie posakiai yra painesni nei kiti. Kompleksiniai skaičiai apima kiekį, vadinamąi, „įsivaizduojamas“ skaičius su nuosavybei= √−1. Jei turite tiesiog išraišką, susijusią su sudėtingu skaičiumi, tai gali atrodyti bauginanti, tačiau išmokus pagrindines taisykles tai yra gana paprastas procesas.
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
Supaprastinkite sudėtingus skaičius vadovaudamiesi algebros su sudėtingaisiais skaičiais taisyklėmis.
Kas yra kompleksinis skaičius?
Sudėtingi skaičiai apibrėžiami įtraukiantiterminas, kuris yra kvadratinė šaknis atėmus vieną. Pagrindinio lygio matematikoje neigiamų skaičių kvadratinės šaknys iš tikrųjų neegzistuoja, tačiau jos retkarčiais pasirodo algebros problemose. Bendroji kompleksinio skaičiaus forma rodo jų struktūrą:
z = a + bi
Kurzpažymi komplekso numerį,ažymi bet kurį skaičių (vadinamą „tikrąja“ dalimi) irbreiškia kitą skaičių (vadinamą „įsivaizduojama“ dalimi), kurie abu gali būti teigiami arba neigiami. Taigi kompleksinio skaičiaus pavyzdys yra:
z = 2 −4i
Kadangi visas neigiamų skaičių kvadratines šaknis galima pavaizduoti dauginiaisi, tai yra visų sudėtinių skaičių forma. Techniškai įprastas skaičius tik apibūdina specialų kompleksinio skaičiaus atvejį, kurb= 0, todėl visus skaičius galima laikyti sudėtingais.
Pagrindinės algebros su sudėtingais skaičiais taisyklės
Norėdami pridėti ir atimti sudėtingus skaičius, tiesiog pridėkite arba atimkite tikrąją ir įsivaizduojamąsias dalis atskirai. Taigi kompleksiniams skaičiamsz = 2 – 4iirw = 3 + 5i, suma yra:
\ prasideda {lygiuoti} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + aš \ pabaiga {lygiuota}
Skaičių atėmimas veikia taip pat:
\ pradžia {lygiuota} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ pabaiga {lygiuota }
Dauginimas yra dar viena paprasta operacija su sudėtingais skaičiais, nes ji veikia kaip įprasta daugyba, išskyrus tai, kad turite tai atsimintii2 = −1. Taigi, norint apskaičiuoti 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Bet kadangii2= −1, tada:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Su visais kompleksiniais skaičiais (naudojantz = 2 – 4iirw = 3 + 5idar kartą), jūs padauginsite juos taip pat, kaip ir paprastais skaičiais, pvz.,a + b) (c + d), taikant „pirmasis, vidinis, išorinis, paskutinis“ (FOIL) metodą (a + b) (c + d) = ac + bc + Reklama + bd. Viskas, ką turite atsiminti, yra supaprastinti visus atvejusi2. Pavyzdžiui:
\ prasideda {lygiuoti} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ pabaiga {lygiuota}
Sudėtingų skaičių padalijimas
Dalinant kompleksinius skaičius, padauginkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš sudėtinio vardiklio konjugato. Kompleksinis konjugatas tiesiog reiškia kompleksinio skaičiaus versiją su įsivaizduojama dalimi, pakeista ženklu. Taigi užz = 2 – 4i, kompleksinis konjugatasz = 2 + 4i, ir užw = 3 + 5i, w = 3 −5i. Dėl problemos:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Reikalingas konjugatas yraw*. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį taip, kad gautumėte:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Ir tada jūs dirbate kaip ankstesniame skyriuje. Skaitiklis pateikia:
\ begin {aligned} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {aligned}
Ir vardiklis pateikia:
\ pradžia {lygiuota} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ pabaiga {lygiuota}
Tai reiškia:
\ begin {aligned} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {aligned}
Sudėtingų skaičių supaprastinimas
Jei norite supaprastinti sudėtingas išraiškas, naudokite aukščiau pateiktas taisykles. Pavyzdžiui:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Tai galima supaprastinti naudojant skaitiklio pridėjimo taisyklę, vardiklyje daugybos taisyklę ir tada užbaigiant padalijimą. Skaitytojui:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Dėl vardiklio:
\ pradžia {lygiuota} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ pabaiga {lygiuota}
Paleidus juos atgal, gaunama:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Padauginus abi dalis iš vardiklio konjugato, gaunama:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ „frac“ {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {aligned}
Taigi tai reiškiazsupaprastinamas taip:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {lygiuota}