Matematikoje skaičiaus abipusis skaičius yra skaičius, kurį padauginus iš pradinio skaičiaus gaunamas 1. Pavyzdžiui, kintamojo x abipusis skaičius yra 1 /x, nes
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
Šiame pavyzdyje 1 /xyra abipusis tapatumasx, ir atvirkščiai. Trigonometrijoje bet kurį iš ne 90 laipsnių kampų stačiajame trikampyje galima apibrėžti santykiais, vadinamais sinusu, kosinusu ir liestine. Taikydami abipusių tapatybių sampratą, matematikai apibrėžia dar tris santykius. Jų pavadinimai yra kosekantiniai, sekantiniai ir kotangentiniai. Kosekantas yra abipusis sinuso tapatumas, antrasis kosinuso ir kotangento tapatumas.
Kaip nustatyti abipusius tapatumus
Apsvarstykite kampąθ, kuris yra vienas iš dviejų stačiakampio trikampio ne 90 laipsnių kampų. Jei trikampio kraštinės ilgis priešais kampą yra "b, "kraštinės, esančios greta kampo ir priešais hipotenusus, ilgis yra"a"ir hipotenuzės ilgis yra"r", mes galime apibrėžti tris pagrindinius trigonometrinius santykius pagal šiuos ilgius.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosinus} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Abipusis nuodėmės tapatumasθturi būti lygus 1 / sin θ, nes tai yra skaičius, kurį padauginus iš nuodėmėsθ, gamina 1. Tas pats pasakytina ir apie cosθir įdegtiθ. Matematikai šiems abipusiams suteikia atitinkamai kosekanto, sekanto ir kotangento pavadinimus. Pagal apibrėžimą:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {kotangentas} θ = \ vaikiška lovelė θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Šiuos abipusius tapatumus galite apibrėžti pagal stačiojo trikampio kraštinių ilgį taip:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Šie santykiai tinka bet kokiam kampuiθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Dvi kitos trigonometrinės tapatybės
Jei žinote kampo sinusą ir kosinusą, galite išgauti liestinę. Tai tiesa, nes
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {and} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, so} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Kadangi tai yra tan definition apibrėžimas, seka ši tapatybė, vadinama tapatumo dalikliu:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
Pitagoro tapatumas išplaukia iš to, kad bet kokiam stačiakampiui su kraštinėmisairbir hipotenuzėr, tiesa:a2 + b2 = r2. Pertvarkydami terminus ir apibrėždami sinuso ir kosinuso santykius, pasieksite šią išraišką:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Įterpiant abipusius sinuso ir kosinuso tapatumus į pirmiau pateiktą išraišką, įvyksta dar du svarbūs santykiai:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ