Kaip ir algebroje, pradėdami mokytis trigonometrijos kaupsite formulių rinkinius, kurie yra naudingi sprendžiant problemas. Vienas iš tokių rinkinių yra pusės kampo tapatybės, kurias galite naudoti dviem tikslais. Vienas iš jų yra konvertuoti trigonometrines (θ/ 2) į funkcijas, atsižvelgiant į labiau pažįstamus (ir lengviau valdomus)θ. Kitas yra rasti faktinę trigonometrinių funkcijų vertęθ, kadaθgalima išreikšti kaip pusę labiau pažįstamo kampo.
Pusinio kampo tapatybių peržiūra
Daugelyje matematikos vadovėlių bus surašytos keturios pagrindinės pusės kampo tapatybės. Tačiau pritaikius algebros ir trigonometrijos derinį, šias lygtis galima suskirstyti į daugybę naudingų formų. Jūs nebūtinai turite įsiminti visus šiuos dalykus (nebent jūsų mokytojas reikalauja), bet bent jau turėtumėte suprasti, kaip juos naudoti:
Pusių kampų tapatybė sinusui
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Pusė kampo Kosino tapatybė
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Pusinės kampinės tapatybės tapatybės
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Pusiau kampinės kotangento tapatybės
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Pusių kampų tapatybių naudojimo pavyzdys
Taigi, kaip naudoti pusiau kampines tapatybes? Pirmasis žingsnis yra pripažinimas, kad susiduriate su kampu, kuris yra pusė labiau pažįstamo kampo.
- I kvadrantas: visos trigavimo funkcijos
- II kvadratas: tik sinusas ir kosekantas
- III kvadrantas: tik liestinis ir kotangentas
- IV kvadratas: tik kosinusas ir sekantas
Įsivaizduokite, kad jūsų prašoma rasti 15 laipsnių kampo sinusą. Tai nėra vienas iš kampų, kurį dauguma studentų įsimins trigimo funkcijų vertes. Bet jei leisite, kad 15 laipsnių bus lygu θ / 2, o tada išspręsite už θ, pamatysite, kad:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Kadangi gautas θ, 30 laipsnių kampas, yra labiau pažįstamas kampas, bus naudinga naudoti pusės kampo formulę.
Kadangi jūsų paprašė rasti sinusą, iš tikrųjų galima rinktis tik vieną pusės kampo formulę:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Pakeisti įθ/ 2 = 15 laipsnių irθ= 30 laipsnių suteikia jums:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Jei jūsų paprašė rasti liestinę ar kotangentą, kurie abu iš dalies padaugina būdus, kaip išreikšti savo pusiau kampinę tapatybę, paprasčiausiai rinkitės versiją, kuri atrodė lengviausia.
± ženklas kai kurių pusės kampo tapatumų pradžioje reiškia, kad nagrinėjama šaknis gali būti teigiama arba neigiama. Šį neaiškumą galite išspręsti naudodami žinias apie trigonometrines funkcijas kvadratuose. Čia trumpai apibendrinama, kurios grąžinimo funkcijos grįžtateigiamasreikšmės, kuriose kvadrantai:
Kadangi šiuo atveju jūsų kampas θ reiškia 30 laipsnių, kuris patenka į I kvadrantą, jūs žinote, kad jo grąžinta sinusinė vertė bus teigiama. Taigi galite mesti ± ženklą ir tiesiog įvertinti:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Pakeiskite žinomą, žinomą cos reikšmę (30). Tokiu atveju naudokite tikslias vertes (priešingai nei dešimtainiai apytiksliai iš diagramos):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Tada supaprastinkite dešinę savo lygties pusę, kad rastumėte nuodėmės vertę (15). Pradėkite padauginę radikalo išraišką iš 2/2, kuri suteikia jums:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Tai supaprastina:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Tada galite išskaičiuoti kvadratinę šaknį iš 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
Daugeliu atvejų tai yra maždaug tiek, kiek galėtumėte supaprastinti. Nors rezultatas gali būti ne itin gražus, nepažįstamo kampo sinusą išvertėte į tikslų kiekį.