Ar kada susimąstėte, kaip susijusios trigonometrinės funkcijos, tokios kaip sinusas ir kosinusas? Jie abu naudojami skaičiuojant kraštus ir kampus trikampiuose, tačiau santykis eina toliau.Funkcijos tapatybėspateikite mums konkrečias formules, kurios parodo, kaip konvertuoti tarp sinuso ir kosinuso, tangento ir kotangento bei sekanto ir kosekanto.
TL; DR (per ilgai; Neskaitė)
Kampo sinusas yra lygus jo papildo kosinusui ir atvirkščiai. Tai pasakytina ir apie kitas funkcijas.
Lengvas būdas prisiminti, kurios funkcijos yra kofunkcijos, yra tai, kad yra dvi trigimo funkcijoskofunkcijosjei vienas iš jų turi priešdėlį „co-“. Taigi:
- sinusas irbendrsinusai yrabendrfunkcijos.
- liestinė irbendrliestinės yrabendrfunkcijos.
- sekantiškas irbendrsekantiški yrabendrfunkcijos.
Mes galime apskaičiuoti pirmyn ir atgal tarp kofunkcijų naudodami šį apibrėžimą: Kampo funkcijos vertė lygi komplemento kofunkcijos vertei.
Tai skamba komplikuotai, bet naudokimės konkrečiu pavyzdžiu, o ne kalbėkime apie funkcijos vertę apskritai. The
sinusaskampo dydis lyguskosinusasjo papildo. Tas pats pasakytina ir apie kitas kofunkcijas: Kampo liestinė lygi jo papildo kotangentui.Atminkite: du kampai yrapapildojei jie susumuoja iki 90 laipsnių.
Funkcijų tapatybės laipsniais:
(Atkreipkite dėmesį, kad 90 ° -xsuteikia mums kampo papildymą.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ lovelė (90 ° - x) \\ \ vaikiška lovelė (x) = įdegis (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Radianų funkcijų tapatybės
Atminkite, kad mes taip pat galime rašyti dalykusradianai, kuris yra SI vienetas matuojant kampus. Devyniasdešimt laipsnių yra tas pats, kas π / 2 radianai, todėl taip pat galime parašyti kofunkcijos tapatybes:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ lovelė (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
„Cofunction Identities“ įrodymas
Visa tai skamba gražiai, bet kaip mes galime įrodyti, kad tai tiesa? Patys išbandę keletą trikampių pavyzdžių, galite padėti jaustis užtikrintai, tačiau yra ir griežtesnis algebrinis įrodymas. Įrodykime sinuso ir kosinuso funkcijų tapatybes. Dirbsime radianais, bet tai tas pats, kas naudoti laipsnius.
Įrodymas:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Visų pirma, atminkite šią formulę, nes mes ją panaudosime savo įrodyme:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Supratau? GERAI. Dabar įrodykime: nuodėmė (x) = cos (π / 2 - x).
Mes galime perrašyti cos (π / 2 -x) kaip šitas:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
nes mes žinome
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {ir} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Taigi
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Dabar tai įrodysime kosinusu!
Įrodymas:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Kitas praeities sprogimas: prisimenate šią formulę?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Mes ketiname jį naudoti. Dabar įrodykime:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Mes galime perrašyti nuodėmę (π / 2 -x) kaip šitas:
\ begin {aligned} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {lygiuotas}
nes mes žinome
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {ir} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Taigi mes gauname
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Funkcijos skaičiuoklė
Išbandykite keletą pavyzdžių, kaip savarankiškai dirbti su funkcijomis. Bet jei jūs užstrigote, „Math Celebrity“ turi kofunkcijos skaičiuoklę, kurioje pateikiami nuoseklūs kofunkcijos problemų sprendimai.
Laimingo skaičiavimo!