მათემატიკაში ზოგჯერ ჩნდება საჭიროება იმის მტკიცება, არის თუ არა ფუნქციური დამოკიდებულება ან ხაზოვანი გაგებით ერთმანეთისგან დამოუკიდებელი. თუ თქვენ გაქვთ წრფივი დამოკიდებულების მქონე ორი ფუნქცია, ამ ფუნქციების განტოლების გრაფიკით ხდება წერტილების გადახურვა. დამოუკიდებელი განტოლებების მქონე ფუნქციები არ ემთხვევა გრაფიკირებისას. ფუნქციების დამოკიდებულება ან დამოუკიდებლობა იმის დასადგენად, ვრონსკის ფუნქციებისათვის გამოთვლაა.
რა არის ვრონსკიანი?
ორი ან მეტი ფუნქციის ვრონსკიანი არის ის, რაც ცნობილია, როგორც დეტერმინანტი, რომელიც არის სპეციალური ფუნქცია, რომელიც გამოიყენება მათემატიკური ობიექტების შედარების და მათ შესახებ გარკვეული ფაქტების დასადასტურებლად. ვრონსკიანის შემთხვევაში, განმსაზღვრელი გამოიყენება ორ ან მეტ ხაზოვან ფუნქციას შორის დამოკიდებულების ან დამოუკიდებლობის დასამტკიცებლად.
ვრონსკის მატრიცა
Wronskian- ის გამოსათვლელად წრფივი ფუნქციებისათვის, ფუნქციები უნდა გადაწყდეს იმავე მნიშვნელობით მატრიცაში, რომელიც შეიცავს როგორც ფუნქციებს, ასევე მათ წარმოებულებს. ამის მაგალითია
W (f, g) (t) = \ დაიწყოს {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
რომელიც Wronskian– ს უზრუნველყოფს ორი ფუნქციისთვის (ვდაგ), რომლებიც ამოხსნილია ერთი მნიშვნელობისთვის, რომელიც ნულზე მეტია (ტ); თქვენ ხედავთ ორ ფუნქციასვ(ტ) დაგ(ტ) მატრიცის ზედა მწკრივში და წარმოებულებივ'(ტ) დაგ'(ტ) ქვედა რიგში. გაითვალისწინეთ, რომ Wronskian შეიძლება გამოყენებულ იქნას უფრო დიდი კომპლექტებისთვისაც. თუ მაგალითად, თქვენ შეამოწმეთ სამი ფუნქცია Wronskian– ით, მაშინ შეიძლება მატრიცა შეავსოთ ფუნქციებით და წარმოებულებითვ(ტ), გ(ტ) დათ(ტ).
ვრონსკის მოგვარება
მას შემდეგ, რაც მატრიცაში განლაგებული ფუნქციები გექნებათ, თითოეული ფუნქცია ჯვარედინად გაამრავლეთ სხვა ფუნქციის წარმოებულთან და გამოაკელით პირველი მნიშვნელობა მეორეს. ზემოთ მოყვანილი მაგალითისთვის, ეს გაძლევთ
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
თუ საბოლოო პასუხი ნულის ტოლია, ეს გვიჩვენებს, რომ ორი ფუნქცია დამოკიდებულია. თუ პასუხი არის ნულის გარდა სხვა, ფუნქციები დამოუკიდებელია.
ვრონსკის მაგალითი
იმისათვის, რომ უკეთ წარმოიდგინოთ, თუ როგორ მუშაობს ეს, ჩათვალეთ, რომ
f (t) = x + 3 \ ტექსტი {და} g (t) = x - 2
მნიშვნელობის გამოყენებატ= 1, შეგიძლიათ ამოხსნათ ფუნქციები, როგორც
f (1) = 4 \ ტექსტი {და} g (1) = -1
ვინაიდან ეს არის ძირითადი წრფივი ფუნქციები 1 დახრით, ორივე წარმოებულივ(ტ) დაგ(ტ) ტოლია 1. თქვენი ღირებულებების ჯვარედინად გამრავლება იძლევა
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
რომელიც უზრუნველყოფს საბოლოო შედეგს 5. მართალია სწორხაზოვან ფუნქციებს ორივეს ერთნაირი დახრა აქვს, მაგრამ ისინი დამოუკიდებლები არიან, რადგან მათი წერტილები არ ემთხვევა ერთმანეთს. თუკივ(ტ) 4-ის ნაცვლად −1-ის შედეგი ჰქონდა, ვრონსკიანს მიანიჭებდა ნულის შედეგს, რომ დამოკიდებულება მიეთითებინა.