როგორ გამოვთვალოთ ტეილორის სერიით

აირჩიეთ ტეილორის სერიალის ცენტრი. ეს რიცხვი თვითნებურია, მაგრამ კარგია აირჩიოს ცენტრი, სადაც ფუნქციაში არის სიმეტრია ან სადაც ცენტრის მნიშვნელობა ამარტივებს პრობლემის მათემატიკას. თუ თქვენ გამოთვლით ტეილორის სერიის გამოსახულებას f (x) = sin (x), კარგი ცენტრია გამოსაყენებლად არის a = 0.

განსაზღვრეთ ტერმინების რაოდენობა, რომელთა გამოთვლა გსურთ. რაც უფრო მეტ ტერმინს გამოიყენებთ, მით უფრო ზუსტი იქნება თქვენი წარმოდგენა, მაგრამ რადგან ტეილორი სერია არის უსასრულო სერია, შეუძლებელია ყველა შესაძლო ტერმინის დამატება. ცოდვის (x) მაგალითში გამოყენებული იქნება ექვსი ტერმინი.

გამოთვალეთ დერივატები, რაც სერიისთვის დაგჭირდებათ. ამ მაგალითისთვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ ყველა წარმოებული მეექვსე წარმოებულამდე. მას შემდეგ, რაც ტეილორის სერია იწყება "n = 0" - დან, თქვენ უნდა შეიტანოთ "0" წარმოებული, რომელიც მხოლოდ თავდაპირველი ფუნქციაა. 0-ე წარმოებული = ცოდვა (x) 1-ლი = cos (x) მე -2 =-ცოდვა (x) მე -3 = -cos (x) მე -4 = ცოდვა (x) მე -5 = cos (x) მე -6 = -sin (x)

გამოთვალეთ თითოეული დერივატის მნიშვნელობა თქვენს მიერ არჩეულ ცენტრში. ეს მნიშვნელობები იქნება ტეილორის სერიის პირველი ექვსი ტერმინების მრიცხველები. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0

გამოიყენეთ წარმოებული გამოთვლები და ცენტრი ტეილორის სერიის ტერმინების დასადგენად. 1-ლი ვადა; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 მე -2 ტერმინი; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! მე -3 ვადა; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! მე -4 ტერმინი; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! მე -5 ვადა; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! მე -6 ვადა; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! ტეილორის სერია ცოდვისთვის (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...

ჩამოაგდეს ნულოვანი ტერმინები სერიაში და გაამარტივებენ გამონათქვამებს ალგებრულად, რათა დადგინდეს ფუნქციის გამარტივებული წარმოდგენა. ეს იქნება სულ სხვა სერია, ამიტომ "n" - ის მნიშვნელობები ადრე გამოყენებული აღარ არის. ცოდვა (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... ცოდვა (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... მას შემდეგ, რაც ნიშნები ცვლის დადებითს და უარყოფითს, გამარტივებული განტოლების პირველი კომპონენტი უნდა იყოს (-1) ^ n, რადგან სერიებში ლუწი რიცხვები არ არის. ტერმინი (-1) ^ n იწვევს უარყოფით ნიშანს, როდესაც n უცნაურია და დადებით ნიშანს, როდესაც n არის ლუწი. კენტი რიცხვების სერიული წარმოდგენაა (2n + 1). როდესაც n = 0, ეს ტერმინი უდრის 1-ს; როდესაც n = 1, ეს ტერმინი უდრის 3-ს და ა.შ. უსასრულობას. ამ მაგალითში გამოიყენეთ ეს წარმოდგენა x- ის გამომსახველებისთვის და მნიშვნელში არსებული ფაქტორიებისთვის

გამოიყენეთ ფუნქციის წარმოდგენა თავდაპირველი ფუნქციის ნაცვლად. უფრო მოწინავე და უფრო რთული განტოლებებისათვის ტეილორის სერიამ შეიძლება გადაჭრის გადაჭრის გადაუჭრელი განტოლება, ანდა მინიმუმ მისცეს გონივრული რიცხვითი ამოხსნა.