რეალური რიცხვების სიმრავლე შედგება რიცხვითი წრფის ყველა რიცხვისგან. ქვეჯგუფებს შეიძლება ჰქონდეს რიცხვების ნებისმიერი კრებული, მაგრამ მნიშვნელოვანი ქვეჯგუფის ელემენტებს მინიმუმ რამდენიმე მახასიათებელი უნდა ჰქონდეს. ამ ქვეჯგუფების უმეტესობა მხოლოდ კონკრეტული გამოთვლებისთვის არის გამოსადეგი, მაგრამ არის რამდენიმე მათგანი, რომლებსაც აქვთ საინტერესო თვისებები და ხელს უწყობენ რეალურ რიცხვთა სისტემის მუშაობის გაგებას.
TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)
რეალური რიცხვების სიმრავლის ყველაზე მნიშვნელოვანი ქვესიმრავლე მოიცავს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შეიძლება დაიყოს შემდეგ ქვეჯგუფებად, მათ შორის არის ბუნებრივი რიცხვები, მთლიანი რიცხვები და მთელი რიცხვები. რეალური რიცხვების სხვა ქვეჯგუფებია ლუწი და კენტი რიცხვები, მარტივი რიცხვები და სრულყოფილი რიცხვები. მთლიანობაში რეალური რიცხვების ქვეჯგუფების უსასრულო რაოდენობაა.
ზოგადად რეალური რიცხვების ქვეჯგუფები
ნებისმიერი სიმრავლისთვის, რომელიც შეიცავს n ელემენტის რაოდენობას, ქვეჯგუფების რაოდენობაა 2ნ. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს აქვს უსასრულო რაოდენობის ელემენტები და, შესაბამისად, 2-ის შესაბამისი ექსპონენციალურიც უსასრულოა, რაც ქვეჯგუფების უსასრულო რიცხვს იძლევა.
ამ ქვეჯგუფებიდან ბევრი შეიძლება გამოყენებულ იქნას რეალური რიცხვის სისტემაზე მუშაობისას და გამოთვლების დროს, მაგრამ ისინი მხოლოდ კონკრეტული მიზნებისთვის არის სასარგებლო. მაგალითად, მეგობრებისთვის რამდენიმე პიცის ფასის გამოსათვლელად, მხოლოდ ათიდან ასამდე ციფრების ქვეჯგუფი შეიძლება იყოს საინტერესო. გარე თერმომეტრი შეიძლება აჩვენოს მხოლოდ ტემპერატურის ქვეჯგუფს მინუს 40 – დან პლუს 120 გრადუსამდე ფარენგეიტით. ამგვარ ქვეჯგუფებთან მუშაობა სასარგებლოა, რადგან მოსალოდნელი ქვეჯგუფის გარეთ ნებისმიერი შედეგი, ალბათ, არასწორია.
რეალური რიცხვების უფრო ზოგადი ქვეჯგუფები კლასიფიკაციას ახდენს მათი მახასიათებლების მიხედვით და ამ ქვეჯგუფებს აქვთ უნიკალური თვისებები. რეალური რიცხვების სისტემა განვითარდა ისეთი ქვეჯგუფებიდან, როგორიცაა ბუნებრივი რიცხვები, რომლებიც იყენებენ თვლას და ასეთი ქვეჯგუფები ქმნის ალგებრის გაგებას.
ქვეჯგუფები, რომლებიც ქმნიან ნამდვილ რიცხვებს
რეალური რიცხვების სიმრავლე შედგება რაციონალური და ირაციონალური რიცხვებისგან. რაციონალური რიცხვები არის მთელი რიცხვები და რიცხვები, რომელთა გამოხატვა შეიძლება წილადის სახით. ყველა სხვა რეალური რიცხვი ირაციონალურია და მათში შედის რიცხვები, როგორიცაა 2 – ის კვადრატული ფესვი და რიცხვი pi. იმის გამო, რომ ირაციონალური რიცხვები განისაზღვრება, როგორც რეალური რიცხვების ქვეჯგუფი, ყველა ირაციონალური რიცხვი უნდა იყოს რეალური რიცხვი.
რაციონალური რიცხვები შეიძლება დაიყოს დამატებით ქვეჯგუფებად. ნატურალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც ისტორიულად გამოიყენებოდა თვლაში და ეს არის თანმიმდევრობა 1, 2, 3 და ა.შ. მთელი რიცხვები არის ბუნებრივი რიცხვები პლუს ნულოვანი. მთელი რიცხვები არის მთელი რიცხვები პლუს უარყოფითი ბუნებრივი რიცხვები.
რაციონალური რიცხვების სხვა ქვეჯგუფებში შედის ისეთი ცნებები, როგორიცაა ლუწი, კენტი, მარტივი და სრულყოფილი რიცხვები. ლუწი რიცხვები არის მთელი რიცხვი, რომლებსაც აქვთ 2 ფაქტორი; კენტი რიცხვები არის ყველა სხვა მთელი რიცხვი. მარტივი რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ საკუთარი და 1 ფაქტორი. სრულყოფილი რიცხვები არის მთელი რიცხვი, რომელთა ფაქტორები რიცხვს ემატება. ყველაზე მცირე სრულყოფილი რიცხვია 6 და მისი ფაქტორები 1, 2 და 3 უმატებს 6-ს.
ზოგადად, რეალური რიცხვებით ჩატარებული გამოთვლები იძლევა რეალურ რიცხვზე პასუხებს, მაგრამ არსებობს გამონაკლისი. არ არსებობს რეალური რიცხვი, რომელიც თავის თავში გამრავლებით, პასუხად აძლევს უარყოფით რეალურ რიცხვს. შედეგად, უარყოფითი რეალური რიცხვის კვადრატული ფესვი არ შეიძლება იყოს ნამდვილი რიცხვი. ნეგატიური რეალური რიცხვების კვადრატულ ფესვებს წარმოსახვით რიცხვებს უწოდებენ და ისინი რიცხვების სიმრავლის ელემენტებია, რომლებიც ნამდვილი რიცხვებისგან სრულიად გამოყოფილია.
რეალური რიცხვების ქვეჯგუფების შესწავლა რიცხვთა თეორიის ნაწილია და ის რიცხვებს აწესრიგებს, რათა უფრო ადვილი იყოს იმის გაგება, თუ როგორ მუშაობს რიცხვების თეორია. რეალური რიცხვების ქვეცნობიერებისა და მათი თვისებების გაცნობა კარგი საფუძველია შემდგომი მათემატიკური კვლევებისთვის.