როგორ გამოვთვალოთ ეიგენექტორები

ისწავლეთ და გაიგეთ "თავისებური ვექტორის" განმარტება. ის გვხვდება n x n კვადრატული მატრიცისთვის და ასევე a სკალარული განსაკუთრებული მნიშვნელობა, რომელსაც "ლამბდა" ეწოდება. ლამბდა წარმოდგენილია ბერძნული ასოთი, მაგრამ აქ მას შემოკლებით შევადგენთ ლ. თუ არსებობს არა ნულოვანი ვექტორი x, სადაც Ax = Lx, ამ ვექტორს x ეწოდება "ა-ის საკუთარი მნიშვნელობა".

იპოვნეთ მატრიცის საკუთარი მნიშვნელობები დამახასიათებელი განტოლების det (A - LI) = 0 გამოყენებით. "Det" ნიშნავს დეტერმინანტს, ხოლო "I" არის პირადობის მატრიცა.

გამოთვალეთ eigenvector თითოეული eigenvalue- სთვის eigenspace E (L) - ის მოძიებით, რაც დამახასიათებელი განტოლების ნულოვანი სივრცეა. E (L) არა ნულოვანი ვექტორები არის ა-ს თავის ვექტორები. ეს გვხვდება ეიგენექტორების დამახასიათებელ მატრიცაში დამატებით და A - LI = 0 საფუძვლის პოვნით.

გამოთვალეთ საკუთარი მნიშვნელობები დამახასიათებელი განტოლების გამოყენებით. Det (A - LI) არის (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, რაც დამახასიათებელი მრავალკუთხედია. ამ ალგებრული გზით ამოხსნა გვაძლევს L1 = 4 და L2 = 2, რომლებიც ჩვენი მატრიცის განსაკუთრებული მნიშვნელობებია.

იპოვნეთ eigenvector for L = 4 ნულოვანი სივრცის გამოთვლით. ეს გააკეთეთ დამახასიათებელ მატრიცაში L1 = 4-ის განთავსებით და A - 4I = 0-ის საფუძვლის მოძიებით. ამის გადაჭრისას ვხვდებით x - y = 0, ან x = y. ამას მხოლოდ ერთი დამოუკიდებელი ამოხსნა აქვს, რადგან ისინი ტოლია, მაგალითად x = y = 1. ამიტომ, v1 = (1,1) არის განსაკუთრებული ვექტორი, რომელიც მოიცავს L1 = 4-ის თავისებურ სივრცეს.

გაიმეორეთ მე -6 ნაბიჯი, რომ იპოვოთ E2- ის ვექტორი L2 = 2-ისთვის. ჩვენ ვხვდებით x + y = 0, ან x = --y. ამას ასევე აქვს ერთი დამოუკიდებელი ამოხსნა, ვთქვათ x = - 1 და y = 1. ამიტომ v2 = (-1,1) არის განსაკუთრებული ვექტორი, რომელიც მოიცავს L2 = 2-ის თავისებურ სივრცეს.