算術の基本定理は、正の整数にはそれぞれ固有の因数分解があると言っています。 表面的には、これは誤りのようです。 たとえば、24 = 2 x12と24 = 6 x 4であり、これは2つの異なる因数分解のように見えます。 定理は有効ですが、因子を標準形式で表す必要があります–順序付けられた素数の指数として。 素数とは、適切な因数がないものです。1でない因数や、数自体はありません。
数を因数分解します。 見つかった因子のいずれかが素数ではなく複合である場合、すべての因子が素数になるまで因数分解を続けます。 たとえば、100 = 4 x 25ですが、4と25は両方とも複合であるため、次の結果が得られるまで続行します：100 = 2 x 2 x 5 x5。
素因数リストに最大の素因数が含まれるまで、素因数を昇順で並べます。 100 = 2 x 2 x 5 x 5の場合、これは2（これらのうちの2つ）、3（これらのいずれでもない）、5（これらのうちの2つ）、および7以上（これらのいずれでもない）を意味します。 147 = 3 x 7 x 7の場合、2（これらのいずれでもない）、3（これらのいずれか）、5（これらのいずれでもない）、7（これらの2つ）、および11以上（これらのいずれでもない）になります。 最初のいくつかの素数は、2、3、5、7、11、13、17、19、23、29です。
ゼロが繰り返され始めるまでのみ指数を書き込むことにより、一意の係数を記述します。 したがって、100 = 2 x 2 x 5 x5は202と書くことができ、147 = 3 x 7 x7は01 02と書くことができます。 このように書かれていると、各因数分解は一意です。 読みやすくするために、一意の因数分解は通常100 = 2 ^ 2 x 5 ^ 2および147 = 3 x 7 ^ 2と記述されます。