多項式の根はゼロとも呼ばれます。これは、根がバツ関数がゼロに等しくなる値。 実際にルーツを見つけることになると、あなたは自由に使える複数のテクニックを持っています。 ファクタリングは最も頻繁に使用する方法ですが、グラフ化も役立つ場合があります。
ルーツはいくつですか？
多項式の最高次数の項、つまり、指数が最も高い項を調べます。 その指数は、多項式が持つ根の数です。 したがって、多項式の最高の指数が2の場合、2つの根があります。 最高の指数が3の場合、3つの根があります。 等々。
警告
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落とし穴があります。多項式の根は実数でも虚数でもかまいません。 「実数」のルーツは、実数と呼ばれるセットのメンバーです。これは、数学のキャリアのこの時点では、扱いに慣れているすべての数です。 虚数をマスターすることはまったく別のトピックなので、今のところ、次の3つのことを覚えておいてください。
- 「虚数」の根は、負の数の平方根がある場合に発生します。 たとえば、√（-9）。
- 架空のルーツは常にペアになります。
- 多項式の根は実数でも虚数でもかまいません。 したがって、5次の多項式がある場合、5つの実数の根、3つの実数の根と2つの虚数の根などがあります。
因数分解による根の検索：例1
根を見つける最も用途の広い方法は、多項式を可能な限り因数分解してから、各項をゼロに設定することです。 いくつかの例を実行すると、これははるかに理にかなっています。 単純な多項式を考えてみましょうバツ2 – 4バツ：
簡単な調査はあなたが因数分解できることを示していますバツ多項式の両方の項から、次のようになります。
x（x-4）
各項をゼロに設定します。 これは、2つの方程式を解くことを意味します。
x = 0
はゼロに設定された最初の項であり、
x-4 = 0
ゼロに設定された2番目の項です。
あなたはすでに最初の用語の解決策を持っています。 場合バツ= 0の場合、式全体がゼロになります。 そうバツ= 0は、多項式の根またはゼロの1つです。
ここで、第2項を検討し、次のように解きます。バツ. 両側に4を追加すると、次のようになります。
x-4 + 4 = 0 + 4
これは次のように簡略化されます。
x = 4
だからもしバツ= 4の場合、2番目の因数はゼロに等しくなります。これは、多項式全体もゼロに等しいことを意味します。
元の多項式は2次であったため（最高の指数は2でした）、この多項式の可能な根は2つしかないことがわかります。 あなたはすでにそれらの両方を見つけたので、あなたがしなければならないのはそれらをリストすることだけです：
x = 0、x = 4
因数分解による根の検索：例2
これは、途中でいくつかの派手な代数を使用して、因数分解によって根を見つける方法のもう1つの例です。 多項式を考えてみましょうバツ4 – 16. その指数をざっと見ると、この多項式には4つの根があるはずであることがわかります。 今、それらを見つける時が来ました。
この多項式は二乗の差として書き直すことができることに気づきましたか？ だから代わりにバツ4 – 16、あなたは持っています：
（x ^ 2）^ 2-4 ^ 2
これは、二乗の差の式を使用して、次のように因数分解します。
（x ^ 2-4）（x ^ 2 + 4）
最初の項もまた、二乗の差です。 したがって、右側の用語をこれ以上因数分解することはできませんが、左側の項をもう1ステップ因数分解することができます。
（x-2）（x + 2）（x ^ 2 + 4）
次に、ゼロを見つけます。 次の場合はすぐに明らかになりますバツ= 2の場合、最初の係数はゼロに等しくなるため、式全体がゼロに等しくなります。
同様に、バツ= −2の場合、2番目の係数はゼロに等しくなるため、式全体もゼロになります。
そうバツ= 2およびバツ= −2は、両方ともこの多項式の零点または根です。
しかし、その最後の学期はどうですか？ 「2」の指数があるため、2つの根が必要です。 ただし、慣れている実数を使用してこの式を因数分解することはできません。 虚数、または必要に応じて複素数と呼ばれる非常に高度な数学的概念を使用する必要があります。 これは現在の数学の練習の範囲をはるかに超えているため、今のところ、2つの実数根（2と-2）と、未定義のままにする2つの虚数根があることに注意するだけで十分です。
グラフ化して根を見つける
グラフ化することで、根を見つけるか、少なくとも推定することもできます。 すべてのルートは、関数のグラフが交差するスポットを表しますバツ軸。 したがって、線をグラフ化してから、バツ線が交差する座標バツ軸、あなたは推定値を挿入することができますバツそれらのポイントの値を方程式に入れて、それらが正しいかどうかを確認します。
多項式について、あなたが働いた最初の例を考えてみましょうバツ2 – 4バツ. 注意深く描くと、線が交差していることがわかります。バツ軸バツ= 0およびバツ= 4. これらの各値を元の方程式に入力すると、次のようになります。
0^2 - 4(0) = 0
そうバツ= 0は、この多項式の有効なゼロまたはルートでした。
4^2 - 4(4) = 0
そうバツ= 4は、この多項式の有効なゼロまたはルートでもあります。 また、多項式の次数は2であるため、2つの根を見つけた後で見るのをやめることができます。