数学では、関数が線形の意味で互いに依存しているか独立しているかを証明する必要が生じることがあります。 線形に依存する2つの関数がある場合、それらの関数の方程式をグラフ化すると、ポイントがオーバーラップします。 独立方程式を持つ関数は、グラフ化されたときに重複しません。 関数が依存しているか独立しているかを判断する1つの方法は、関数のロンスキー行列式を計算することです。
ロンスキー行列式とは何ですか？
2つ以上の関数のロンスキー行列式は、行列式と呼ばれるものです。これは、数学的対象を比較し、それらに関する特定の事実を証明するために使用される特殊関数です。 ロンスキー行列式の場合、行列式は、2つ以上の線形関数間の依存性または独立性を証明するために使用されます。
ロンスキー行列
線形関数のロンスキー行列式を計算するには、関数とその導関数の両方を含む行列内の同じ値について関数を解く必要があります。 この例は
W（f、g）（t）= \ begin {vmatrix} f（t）＆g（t）\\ f '（t）＆g'（t）\ end {vmatrix}
これは2つの関数にロンスキー行列式を提供します（fそしてg）ゼロより大きい単一の値に対して解決されます（t); あなたは2つの機能を見ることができますf(t）およびg(t）行列の一番上の行、および導関数f'(t）およびg'(t）一番下の行。 ロンスキー行列式は、より大きなセットにも使用できることに注意してください。 たとえば、ロンスキー行列式を使用して3つの関数をテストする場合、行列に次の関数と導関数を入力できます。f(t), g(t）およびh(t).
ロンスキー行列式を解く
関数を行列に配置したら、各関数を他の関数の導関数に対してクロス乗算し、2番目の値から最初の値を減算します。 上記の例では、これにより
W（f、g）（t）= f（t）g '（t）-g（t）f'（t）
最終的な答えがゼロに等しい場合、これは2つの関数が依存していることを示しています。 答えがゼロ以外の場合、関数は独立しています。
ロンスキー行列式の例
これがどのように機能するかをよりよく理解するために、次のように仮定します。
f（t）= x + 3 \ text {および} g（t）= x-2
の値を使用するt= 1、次のように関数を解くことができます
f（1）= 4 \ text {および} g（1）= -1
これらは傾きが1の基本的な線形関数であるため、両方の導関数f(t）およびg(t）等しい1。 値をクロス乗算すると、
W（f、g）（1）=（4 + 1）-（-1 + 1）
これは5の最終結果を提供します。 一次関数は両方とも同じ勾配を持っていますが、それらの点が重ならないため、それらは独立しています。 場合f(t）が4ではなく-1の結果を生成した場合、ロンスキー行列式は依存関係を示す代わりにゼロの結果を返します。