実数は、負の無限大からゼロ、正の無限大まで伸びる数直線上のすべての数です。 実数のセットのこの構成は恣意的ではなく、カウントに使用される自然数からの進化の結果です。 自然数のシステムにはいくつかの矛盾があり、計算がより複雑になるにつれて、数システムはその制限に対処するために拡張されました。 実数の場合、計算によって一貫した結果が得られ、より原始的なバージョンの記数法に見られるような例外や制限はほとんどありません。
TL; DR（長すぎる; 読んでいない）
実数のセットは、数直線上のすべての数で構成されます。 これには、自然数、整数、整数、有理数、無理数が含まれます。 虚数や複素数は含まれません。
自然数とクロージャ
閉包は、数のセットのプロパティです。つまり、許可された計算がセットのメンバーである数に対して実行される場合、答えはセットのメンバーである数にもなります。 セットは閉じていると言われています。
自然数は数えている数、1、2、3 ...であり、自然数のセットは閉じられていません。 自然数が商取引で使用されたため、2つの問題がすぐに発生しました。 自然数は牛などの実数を数えましたが、農家が5頭の牛を飼っており、5頭の牛を販売した場合、結果の自然数はありませんでした。 初期の数体系は、この問題に対処するために非常に迅速にゼロの用語を開発しました。 その結果、自然数にゼロを加えた整数のシステムができました。
2番目の問題も減算に関連していました。 数が牛のような実物を数えている限り、農夫は彼が持っていたより多くの牛を売ることができませんでした。 しかし、数が抽象的になると、小さい数から大きい数を引くと、整数のシステムの外で答えが得られました。 その結果、整数と負の自然数である整数が導入されました。 記数法には完全な数直線が含まれるようになりましたが、整数のみが含まれています。
有理数
閉じた記数法での計算は、記数法内からの答えを与える必要があります 加算や乗算などの演算だけでなく、それらの逆演算、減算、 分割。 整数のシステムは、加算、減算、乗算では閉じられますが、除算では閉じられません。 整数を別の整数で除算すると、結果は必ずしも整数になるとは限りません。
小さい整数を大きい整数で割ると、分数が得られます。 このような分数は、有理数として記数法に追加されました。 有理数は、2つの整数の比率として表現できる任意の数として定義されます。 任意の10進数を有理数として表すことができます。 たとえば、2.864は2864/1000で、0.89632は89632 / 100,000です。 数直線は完成したようです。
無理数
数直線上に整数の分数として表現できない数があります。 1つは、直角三角形の辺とハイポテヌスの比率です。 直角三角形の2つの辺が1と1の場合、斜辺は2の平方根です。 2の平方根は、繰り返されない無限小数です。 このような数は無理数と呼ばれ、有理数ではないすべての実数が含まれます。 この定義では、無理数の定義に有理数ではない他の実数が含まれるため、すべての実数の数直線が完成します。
インフィニティ
実数直線は負の無限大から正の無限大に伸びると言われていますが、無限大自体は 実数ではなく、それを他のどの数よりも多い量として定義する記数法の概念 数。 xがゼロに達すると、数学的に無限大が1 / xの答えになりますが、ゼロによる除算は定義されていません。 無限大が数の場合、無限大は算術の法則に従わないため、矛盾が生じます。 たとえば、無限大プラス1はまだ無限大です。
虚数
実数のセットは、定義されていないゼロによる除算を除いて、加算、減算、乗算、および除算のために閉じられます。 セットは、少なくとも1つの他の操作のために閉じられていません。
実数のセットの乗算の規則は、負の数と 正の数は負の数を与え、正または負の数の乗算は正の数を与えます 答えます。 これは、数値をそれ自体で乗算する特殊なケースでは、正の数と負の数の両方に対して正の数が生成されることを意味します。 この特殊なケースの逆は、正の数の平方根であり、正と負の両方の答えを与えます。 負の数の平方根の場合、実数のセットには答えがありません。
虚数のセットの概念は、実数の負の平方根の問題に対処します。 マイナス1の平方根はiとして定義され、すべての虚数はiの倍数です。 数論を完成させるために、複素数のセットは、すべての実数とすべての虚数を含むものとして定義されます。 実数は水平の数直線上で引き続き視覚化できますが、虚数は垂直の数直線であり、2つはゼロで交差します。 複素数は、2つの数直線の平面内の点であり、それぞれに実数成分と虚数成分があります。