2つのスカラー量の積はスカラーであり、スカラーとベクトルの積はベクトルですが、2つのベクトルの積はどうでしょうか。 それはスカラーですか、それとも別のベクトルですか？ 答えは、どちらかである可能性があります！
ベクトル積を取るには2つの方法があります。 1つは、スカラーを生成する内積を取得することによるものであり、もう1つは、別のベクトルを生成する外積を取得することによるものです。 どの製品が使用されるかは、特定のシナリオと検索しようとしている数量によって異なります。
2つのベクトルの外積は、に垂直な方向を指す3番目のベクトルを生成します。 2つのベクトルがまたがる平面で、その大きさは2つのベクトルの相対的な垂直性に依存します。 ベクトル。
ベクトルの外積の定義
まず、単位ベクトルの外積を定義します私, jそしてk（を指すマグニチュード1のベクトルx-、y-そしてz-標準デカルト座標系のコンポーネント方向）は次のとおりです。
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
これらの関係は反交換的であることに注意してください。つまり、積をとるベクトルの順序を切り替えると、積の符号が反転します。
\ bold {j \ times i} =-\ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} =-\ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} =-\ bold {j}
上記の定義を使用して、2つの3次元ベクトルの外積の式を導出できます。. まず、ベクトルを書きますaそしてb次のように：
\ bold {a} =（a_x、a_y、a_z）= a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} =（b_x、b_y、b_z）= b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
2つのベクトルを乗算すると、次のようになります。
\ bold {a \ times b} =（a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}）\ times（b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ 太字{k}）\\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ 倍i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
次に、上記の単位ベクトルの関係を使用すると、これは次のように簡略化されます。
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} -a_xb_z \ bold {k \ times i} -a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} -a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ =（a_xb_y --a_yb_x）\ bold {i \ times j} +（a_zb_x --a_xb_z）\ bold {k \ times i} +（a_yb_z --a_zb_y）\ bold {j \ times k} \\ =（a_yb_z --a_zb_y）\ bold { i} +（a_zb_x --a_xb_z）\ bold {j} +（a_xb_y- a_yb_x）\ bold {k}
(外積が0の項は、内積（スカラー積とも呼ばれます）を形成する項であることに注意してください。これは偶然ではありません。）
言い換えると：
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} =（c_x、c_y、c_z）\ text {where} \\ c_x = a_yb_z --a_zb_y \\ c_y = a_zb_x --a_xb_z \\ c_z = a_xb_y --a_yb_x
外積の大きさは、ピタゴラスの定理を使用して見つけることができます。
外積式は、次の行列の行列式として表すこともできます。
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i}＆\ bold {j}＆\ bold {k} \\ a_x＆a_y＆a_z \\ b_x＆b_y＆b_z \ end {行列} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begin {matrix} a_y＆a_z \\ b_y＆ b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i}-\ Big | \ begin {matrix} a_x＆a_z \\ b_x＆b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {行列} a_x＆a_y \\ b_x＆b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {行列式の場所} \ Big | \ begin {matrix} a＆b \\ c＆d \ end {matrix} \ Big | =広告-bc
クロス積のもう1つの、多くの場合非常に便利な定式化は次のとおりです（導出についてはこの記事の最後を参照してください）。
\ bold {a×b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin（θ）\ bold {n}
どこ：
- |a| ベクトルの大きさ（長さ）ですa
- |b| ベクトルの大きさ（長さ）ですb
- θは間の角度です aそして b
- nがまたがる平面に垂直な単位ベクトルです aそしてb
垂直ベクトルと右手の法則
外積の説明では、外積の方向はベクトルがまたがる平面に垂直であると述べられています。aとベクトルb. しかし、これには2つの可能性があります。から飛行機またはにそれらのベクトルがまたがる平面。 現実には、一貫している限り、どちらかを実際に選択できます。 ただし、数学者と科学者が同様に選択する好ましい方向は、右手の法則.
右手の法則を使用してベクトル外積の方向を決定するには、右手の人差し指をベクトルの方向に向けます。aそして中指をベクトルの方向にb. 次に、親指は外積ベクトルの方向を指します。
これらの方向を平らな紙に描くのが難しい場合があるため、次の規則が作成されることがよくあります。
ページに入るベクトルを示すために、Xが含まれる円を描画します（これは、矢印の端にある尾羽を後ろから見たときに表すものと考えてください）。 ページの外に反対方向に進むベクトルを示すために、ドットが入った円を描きます（これをページの外を指す矢印の先端と考えてください）。
•••na
外積の特性
以下は、ベクトル外積のいくつかのプロパティです。
\＃\ text {1。 } \ bold {a} \ text {と} \ bold {b} \ text {が並列である場合、} \ bold {a \ times b} = 0
\＃\ text {2。 } \ bold {a \ times b} =-\ bold {b \ times a}
\＃\ text {3。 } \ bold {a \ times（b + c）} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\＃\ text {4。 }（c \ bold {a）\ times b} = c（\ bold {a \ times b}）
\＃\ text {5。 } \ bold {a \ cdot（b \ times c}）= \ bold {（a \ times b）\ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot（b \ times c}）= \ Bigg | \ begin {matrix} a_x＆a_y＆a_z \\ b_x＆b_y＆b_z \\ c_x＆c_y＆c_z \ end {matrix } \ Bigg |
外積の幾何学的解釈
ベクトル外積がsin（θ）で定式化されると、その大きさは2つのベクトルがまたがる平行四辺形の面積を表すと解釈できます。 これはa×b, |b| sin（θ）=示されているように、平行四辺形の高さ、および|a| ベースです。
•••ダナ・チェン| 科学
ベクトル三重積の大きさa（b×c） 次に、ベクトルがまたがる平行六面体の体積として解釈できます。a, bそしてc. それの訳は（b×c） 大きさがベクトルがまたがる面積であるベクトルを与えるbとベクトルc、およびその方向はその領域に垂直です。 ベクトルの内積を取るaこの結果により、基本的にベース領域に高さを掛けます。
例
例1：電荷の粒子にかかる力q速度で動くv磁場中Bによって与えられます：
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
電子が速度2×10で0.005Tの磁場を通過するとします。7 MS。 それがフィールドを垂直に通過する場合、それが感じる力は次のとおりです。
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin（\ theta）\ bold {n} =（-1.602 \ times 10 ^ {19}）（2 \ times 10 ^ 7）（0.005 ）\ sin（90）\ bold {n} = -1.602 \ times 10 ^ {-14} \ text {N} \ bold {n}
ただし、電子が場と平行に移動している場合、θ= 0、sin（0）= 0となり、力は0になります。
フィールドを垂直に通過する電子の場合、この力によって電子が円を描くように移動することに注意してください。 この円軌道の半径は、磁力を求心力に等しく設定し、半径を解くことによって求めることができます。r:
F_ {mag} = qvB \ sin（90）= qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implies r = \ frac {mv} {qB}
上記の例では、数字を差し込むと半径が約0.0227mになります。
例2：物理量トルクも、ベクトル外積を使用して計算されます。 力の場合F位置にあるオブジェクトに適用されますrピボットポイントから、トルクτピボットポイントについては、次の式で与えられます。
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
もう一方の端がピボットに取り付けられている0.75ロッドの端に対して、ある角度で7Nの力が加えられる状況を考えてみます。 間の角度rそしてFは70度なので、トルクを計算できます。
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin（\ theta）=（0.75）（7）\ sin（70）\ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { n}
トルクの方向、nは、右手の法則を介して検出されます。 上の画像に適用すると、ページまたは画面から出る方向がわかります。 一般に、オブジェクトに加えられたトルクは、オブジェクトを回転させたいと思うでしょう。 トルクベクトルは常に回転軸と同じ方向にあります。
実際、この状況では、単純化された右手の法則を使用できます。右手を使用して、回転軸を「つかむ」 指が関連するトルクによってオブジェクトを回転させたい方向に回転するような方法。 次に、親指がトルクベクトルの方向を指しています。
クロス積式の導出
\ text {ここでは、外積式} \ bold {a×b} = | \ bold {a} |を示します。 | \ bold {b} | \ sin（θ）\ bold {n} \ text {を導出できます。}
2つのベクトルを考えますaそしてb角度付きθそれらの間の。 ベクトルの先端から線を引くことで直角三角形を形成できますaベクトル上の垂直な接触点にb.
ピタゴラスの定理を使用すると、次の関係が得られます。
\ Big | \ Big（\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big）\ bold {b} \ Big | ^ 2 +（| \ bold {a} | \ sin（\ theta））^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {Where} \ Big（\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big）\ bold {b} \ text {はベクトルの射影} \ bold {a} \ text {をベクトル} \ bold {b}に。
式を少し単純化すると、次のようになります。
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2（\ theta）= | \ bold { a} | ^ 2
次に、方程式の両辺に|を掛けます。b|2 最初の項を右側に移動して、次のようにします。
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2（\ theta）= | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2- | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
右側で作業し、すべてを乗算してから単純化します。
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2- | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [（a_x）^ 2 +（a_y）^ 2 +（a_z）^ 2 ] [（b_x）^ 2 +（b_y）^ 2 +（b_z）^ 2] \\-（a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z）（a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z）\\ =（a_xb_y）^ 2 +（a_xb_z）^ 2 +（a_yb_x）^ 2 +（a_yb_z）^ 2 +（a_zb_x）^ 2 + a_zb_y）^ 2 \\-2a_xa_yb_xb_y-2a_xa_zb_xb_z-2a_ya_zb_yb_z \\ =（a_yb_yb_z \\ =（a_yb_z） （a_xb_y-a_yb_x）^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
結果を前の式の左辺に等しく設定すると、次の関係が得られます。
| \ bold {a \ times b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin（\ theta）|
これは、式の大きさが同じであることを示しています。したがって、式を証明するために最後に行うことは、方向も同じであることを示すことです。 これは、の内積を取るだけで実行できます。aとa×bそしてbとa×bそしてそれらが0であることを示し、その方向がa×b 両方に垂直です。