回転運動エネルギーオブジェクトの回転または円運動から生じる運動のエネルギーを表します。 それを思い出します線形運動エネルギー質量のmスピードで動くv1 / 2mvで与えられます2. これは、直線パスを移動するオブジェクトの簡単な計算です。 これはオブジェクトの重心に適用され、オブジェクトを点質量として近似することができます。
ここで、より複雑な運動をしている拡張オブジェクトの運動エネルギーを記述したい場合、計算はより複雑になります。
拡張されたオブジェクトを小さな断片に分割することにより、連続的な近似を行うことができます。各断片は、次のように近似できます。 点質量、次に各点質量の線形運動エネルギーを個別に計算し、それらをすべて合計して、 オブジェクト。 オブジェクトを分割する値が小さいほど、近似は良くなります。 ピースが微小になる限界では、これは微積分で行うことができます。
しかし、私たちは幸運です！ 回転運動に関しては、単純化があります。 回転する物体の場合、回転軸の周りの質量分布を慣性モーメントで表すと、私、この記事の後半で説明する簡単な回転運動エネルギー方程式を使用できます。
慣性モーメント
慣性モーメントは、オブジェクトに特定の軸を中心とした回転運動を変化させることがどれほど難しいかを示す尺度です。 回転するオブジェクトの慣性モーメントは、オブジェクトの質量だけでなく、その質量が回転軸の周りにどのように分布しているかにも依存します。 質量が分布する軸から離れるほど、その回転運動を変更するのが難しくなり、したがって慣性モーメントが大きくなります。
慣性モーメントのSI単位はkgmです2 （これは、質量と回転軸からの距離に依存するという私たちの概念と一致しています）。 さまざまなオブジェクトの慣性モーメントは、表または微積分から見つけることができます。
チップ
任意のオブジェクトの慣性モーメントは、微積分と点質量の慣性モーメントの式を使用して見つけることができます。
回転運動エネルギー方程式
回転運動エネルギーの式は次の式で与えられます。
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
どこ私オブジェクトの慣性モーメントであり、ωは、オブジェクトの角速度（ラジアン/秒（rad / s））です。 回転運動エネルギーのSI単位はジュール（J）です。
回転運動エネルギー式の形式は、並進運動エネルギー方程式に類似しています。 慣性モーメントは質量の役割を果たし、角速度が線形速度に取って代わります。 回転運動エネルギー方程式は、線形方程式と同じ結果を点質量に対して与えることに注意してください。
点質量を想像するとm半径の円を移動するrスピードでv、その場合、その角速度はω= v / rであり、その慣性モーメントはmrです。2. 予想どおり、両方の運動エネルギー方程式で同じ結果が得られます。
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2}（mr ^ 2）（v / r）^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
オブジェクトが回転していて、その重心が直線経路に沿って移動している場合（たとえば、ローリングタイヤの場合のように）、総運動エネルギーは、回転運動エネルギーと並進運動エネルギーの合計です。
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
回転運動エネルギー式を使用した例
回転運動エネルギーの公式には多くの用途があります。 回転する物体の単純な運動エネルギーを計算し、の運動エネルギーを計算するために使用できます。 回転するオブジェクト（回転運動と並進運動の両方を受けるオブジェクト）および他のオブジェクトを解決する 不明。 次の3つの例を検討してください。
例1：地球はその軸を中心に約24時間に1回回転します。 密度が均一であると仮定すると、その回転運動エネルギーはどのくらいですか？ （地球の半径は6.37×10です6 m、その質量は5.97×10です24 kg。）
回転運動エネルギーを見つけるには、最初に慣性モーメントを見つける必要があります。 地球を固体の球体として近似すると、次のようになります。
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5}（5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}）（6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}）^ 2 = 9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
角速度は2πラジアン/日です。 これをrad / sに変換すると、次のようになります。
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {seconds}} = 7.27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
したがって、地球の回転運動エネルギーは次のようになります。
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2}（9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2）（7.27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}）^ 2 = 2.56 \ times 10 ^ {29} \ text {J}
おもしろい事実：これは、太陽が1分間に放出する総エネルギーの10倍以上です！
例2：質量0.75kg、半径0.1 mの均一な円柱が、4 m / sの一定速度で床を横切って転がります。 その運動エネルギーは何ですか？
総運動エネルギーは次の式で与えられます。
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
この場合、I = 1/2 mr2 は中実円柱の慣性モーメントであり、ωω= v / rを介して線速度に関連しています.
総運動エネルギーの式を簡略化し、値を差し込むと、次のようになります。
KE_ {tot} = \ frac {1} {2}（\ frac {1} {2} mr ^ 2）（v / r）^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4}（0.75 \ text {kg}） （4 \ text {m / s}）= 2.25 \ text {J}
半径を使用する必要さえなかったことに注意してください！ 回転速度と角速度の直接的な関係のため、キャンセルされました。
例3：自転車に乗っている学生が休憩から丘を下って惰性で走ります。 丘の垂直方向の高さが30mの場合、生徒は丘の底をどのくらいの速さで進みますか。 自転車の重量が8kg、ライダーの重量が50 kg、各車輪の重量が2.2 kg（自転車の重量に含まれる）、各車輪の直径が0.7mであると仮定します。 ホイールをフープとして近似し、摩擦が無視できると仮定します。
ここでは、機械的エネルギー節約を使用して最終速度を見つけることができます。 丘の頂上での位置エネルギーは、底で運動エネルギーに変換されます。 その運動エネルギーは、人と自転車のシステム全体の並進運動エネルギーとタイヤの回転運動エネルギーの合計です。
システムの総エネルギー：
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh =（50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}）（9.8 \ text {m / s} ^ 2）（30 \ text {m}）= 17,052 \ text {J}
丘の底での運動エネルギーに関する総エネルギーの式は次のとおりです。
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {tires} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2}（2 \ times m_ {tire} \ times r_ {tire} ^ 2）（v / r_ {tire}）^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tire} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ =（m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}）v ^ 2
解決するv与える：
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
最後に、数字を差し込むと答えが得られます。
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}