2つのスカラー量の積はスカラーであり、スカラーとベクトルの積はベクトルですが、2つのベクトルの積はどうでしょうか。 それはスカラーですか、それとも別のベクトルですか？ 答えは、どちらかである可能性があります！
ベクトルを一緒に乗算する方法は2つあります。 1つは、スカラーを生成する内積を取得することによるものであり、もう1つは、別のベクトルを生成する外積を取得することによるものです。 どの製品を使用するかは、特定のシナリオと検索しようとしている数量によって異なります。
ザ・ドット積と呼ばれることもありますスカラー積または内部製品. 幾何学的には、2つのベクトル間の内積は、同じ方向の寄与のみをカウントするベクトル値を乗算する方法と考えることができます。
- 注：内積は負または正の場合がありますが、その符号は方向を示すものではありません。 1次元では、ベクトルの方向は符号で示されることがよくありますが、スカラー量には、方向インジケーターではない符号が関連付けられている場合もあります。 債務は、この多くの例の1つにすぎません。
内積の定義
ベクトルの内積a =（aバツ、y)そしてb =（bバツ、by)標準のデカルト座標系では、次のように定義されます。
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
ベクトルの内積をそれ自体と一緒に取ると、興味深い関係が生まれます。
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
どこ|a| の大きさ（長さ）ですaピタゴラスの定理による。
別の内積式は、余弦定理を使用して導出できます。 これは次のように行われます。
ゼロ以外のベクトルを検討するaそしてbそれらの差ベクトルと一緒にa-b. 3つのベクトルを配置して三角形を形成します。
三角法からの余弦定理は、次のことを示しています。
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2-2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos（\ theta ）
そして、内積の定義を使用すると、次のようになります。
| \ bold {ab} | ^ 2 =（\ bold {ab}）\ cdot（\ bold {ab}）=（a_x-b_X）^ 2 +（a_y-b_y）^ 2 \\ =（a_x）^ 2 +（b_x）^ 2-2a_xb_x +（a_y）^ 2 +（b_y）^ 2- 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2-2 \ bold {a \ cdot b}
両方の式を等しく設定してから単純化すると、次のようになります。
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} -2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} --2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos（\ theta）\\\ text {} \\\ implies \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos（\ theta）}
この定式化により、幾何学的な直感を活用できます。 数量|a| cos（θ）はベクトルの射影の大きさですaベクトルにb.
したがって、内積は、あるベクトルを別のベクトルに射影し、次にそれらの値の積と考えることができます。 言い換えれば、それは、一方のベクトルと、それ自体と同じ方向のもう一方のベクトルの量との積と見なすことができます。
内積のプロパティ
以下は、役立つと思われる内積のいくつかのプロパティです。
\＃\ text {1。 } \ theta = 0 \ text {の場合、} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
これは、cos（0）= 1であるためです。
\＃\ text {2。 } \ theta = 180 \ text {の場合、} \ bold {a \ cdot b} =-| \ bold {a} || \ bold {b} |
これは、cos（180）=-1であるためです。
\＃\ text {3。 } \ theta = 90 \ text {の場合、} \ bold {a \ cdot b} = 0
これは、cos（90）= 0であるためです。
- 注：0
θ
<90の場合、内積は正になり、90
θ
<180の場合、内積は負になります。
\＃\ text {4。 } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
これは、可換法則を内積の定義に適用した結果です。
\＃\ text {5。 } \ bold {a \ cdot（b + c）} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
証明：
\ bold {a \ cdot（b + c）} = \ bold {a} \ cdot（b_x + c_x、b_y + c_y）\\ = a_x（b_x + c_x）+ a_y（b_y + c_y）\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ =（a_xb_x + a_yb_y）+（a_xc_x + a_yc_y）\\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\＃\ text {6。 } c（\ bold {a \ cdot b}）=（c \ bold {a}）\ cdot \ bold {b}
証明：
c（\ bold {a \ cdot b}）= c（a_xb_x + a_yb_y）\\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ =（ca_x）b_x +（ca_y）b_y \\ =（c \ bold {a}）\ cdot \ 太字{b}
内積を見つける方法
例1：物理学では、力によって行われる仕事Fオブジェクトが変位するときのオブジェクトd、 と定義されている：
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos（\ theta）
ここで、θは力ベクトルと変位ベクトルの間の角度です。
力によって行われる仕事の量は、その力が変位にどれだけ寄与したかを示します。 力が変位と同じ方向にある場合（cos（θ）= 0）、力は最大の寄与をします。 変位に垂直な場合（cos（Ѳ）= 90）、それはまったく貢献しません。 そして、それが変位の反対である場合（cos（θ）= 180）、それは負の寄与をします。
子供が、線路の線に対して25度の角度で5 Nの力を加えて、玩具列車を線路を横切って押すとします。 子供が電車を0.5m動かすと、電車でどのくらいの仕事をしますか。
解決：
F = 5 \ text {N} \\ d = 0.5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ degree \\
仕事の内積定義を使用し、値をプラグインすると、次のようになります。
W = Fd \ cos（\ theta）= 5 \ times0.5 \ times \ cos（25）= \ boxed {2.27 \ text {J}}
この具体的な例から、変位の方向に垂直な力を加えても効果がないことはさらに明確になるはずです。 子供が線路に対して直角に列車を押した場合、列車は線路に沿って前後に移動しません。 また、角度が小さくなり、力と変位が整列に近づくにつれて、電車の中で子供が行う仕事が増えることも直感的です。
例2：内積を使用して計算できる物理量のもう1つの例は電力です。 物理学では、力は仕事を時間で割ったものに等しくなりますが、次のように力と速度の内積として書くこともできます。
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
どこv速度です。
電車で遊んでいる子供の前の例を考えてみましょう。 代わりに、同じ力が加えられて列車が2 m / sで線路を下って移動すると言われた場合、内積を使用して電力を見つけることができます。
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos（\ theta）= 5 \ times2 \ times \ cos（25）= 9.06 \ text {ワット}
例3：ドット積が物理学で使用される別の例は、磁束の場合です。 磁束は、特定の領域を通過する磁場の量です。 それは磁場の内積として見出されますBエリアとA. （面積ベクトルの方向は正常、または領域の表面に垂直。）
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
0.02テスラのフィールドが半径10cmのワイヤーループを通過し、法線と30度の角度をなすとします。 フラックスとは何ですか？
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos（\ theta）= 0.02 \ times（\ pi \ times0.1 ^ 2）\ times \ cos（30）= 0.000544 \ text {Wb}
この磁束が変化すると、フィールド値を変更するか、ループ領域を変更するか、 ループまたはフィールドソースを回転させることにより角度を付けると、ループに電流が誘導され、 電気！
もう一度、角度が直感的な方法でどのように関連しているかに注意してください。 角度が90度の場合、これは、フィールドが領域と同じ平面に沿って配置され、磁力線がループを通過せず、磁束が発生しないことを意味します。 磁束の量は、フィールドと法線の間の角度が0に近づくほど増加します。 内積を使用すると、表面に垂直な方向にあるフィールドの量を判別できるため、フラックスに寄与しています。
ベクトル射影と内積
前のセクションで、内積は、あるベクトルを別のベクトルに投影し、それらの大きさを乗算する方法と考えることができると述べました。 そのため、ベクトル射影の式が内積から導出できることは驚くべきことではありません。
ベクトルを投影するためにaベクトルにb、の内積を取りますaとともに単位ベクトルの方向にb、次に、このスカラー結果に同じ単位ベクトルを乗算します。
単位ベクトルは、特定の方向にある長さ1のベクトルです。 ベクトル方向の単位ベクトルb単にベクトルですbその大きさで割ったもの：
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
したがって、この予測は次のようになります。
\ text {} \ bold {a} \ text {の} \ bold {b} = \ Big（\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}への射影 \ Big）\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big（\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big）\ bold {b}
高次元の内積
ベクトルが高次元に存在するのと同じように、内積も存在します。 子供が再び電車を押す例を想像してみてください。 彼女がトラックの側面に対して下向きと斜めの両方を押したとします。 標準の座標系では、力と変位のベクトルを3次元で表す必要があります。
にn寸法、内積は次のように定義されます。
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
以前と同じドット積のプロパティはすべて引き続き適用され、余弦定理は再び関係を示します。
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos（\ theta）
各ベクトルの大きさは、ピタゴラスの定理と一致して、次のように求められます。
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {（a_1）^ 2 +（a_2）^ 2 +... +（a_n）^ 2}
ドット積を3次元で見つける方法
例1：内積は、2つのベクトル間の角度を見つける必要がある場合に特に役立ちます。 たとえば、次の間の角度を決定したいとします。a=（2、3、2）およびb= (1, 4, 0). これらの2つのベクトルを3空間でスケッチしたとしても、頭をジオメトリに巻き付けるのは非常に難しい場合があります。 しかし、数学は、次の事実を使用して、かなり簡単です。
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos（\ theta）\\\は\ theta = \ cos ^ {-1} \ Big（\ frac {\ 太字{a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big）
次に、の内積を計算しますaそしてb:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
そして、各ベクトルの大きさを計算します。
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
そして最後にすべてを接続すると、次のようになります。
\ theta = \ cos ^ {-1} \ Big（\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big）= \ cos ^ {- 1} \ Big（\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big）= \ boxed {34.4 \ degree}
例2：正電荷は、3次元空間の座標点（3、5、4）にあります。 ベクトルの方向を指す線に沿ったどの点でa=（6、9、5）電界は最大ですか？
解決策：電界強度が距離にどのように関係するかについての知識から、 正電荷に最も近い線上は、フィールドが 最強。 ドット積に関する知識から、ここでは射影式を使用することが理にかなっていると推測できます。 その式は、先端がまさに私たちが探している点にあるベクトルを私たちに与えるはずです。
計算する必要があります：
\ text {射影}（3、5、4）\ text {から} \ bold {a} = \ Big（（3,5,4）\ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big）\ bold {a}
そのためには、まず、|を見つけましょう。a|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
次に、内積：
（3,5,4）\ cdot（6,9,5）= 3 \ times6 + 5 \ times9 + 4 \ times5 = 83
これを|で割るa|2 83/142 = 0.585になります。 次に、このスカラーにa与える：
0.585 \ bold {a} = 0.585 \ times（6,9,5）=（3.51,5.27,2.93）
したがって、フィールドが最も強い線に沿ったポイントは（3.51、5.27、2.93）です。