シュレディンガー方程式：説明とその使用方法

シュレディンガー方程式は量子力学の最も基本的な方程式であり、その使用方法とその意味を学ぶことは、新進の物理学者にとって不可欠です。 この方程式の名前は、1933年に量子物理学への貢献でポールディラックとともにノーベル賞を受賞したエルヴィンシュレーディンガーにちなんで名付けられました。

シュレディンガー方程式は、量子力学システムの波動関数を記述します。 粒子の位置およびそのような他の観測可能な量に関する確率的情報 勢い。 方程式について学んだ後、量子力学について理解する最も重要なことは、量子領域の法則がとても違う古典力学のものから。

すべての粒子は波動関数で表されるため、波動関数は量子力学で最も重要な概念の1つです。 通常、ギリシャ文字のpsi（Ψ）、そしてそれは位置と時間に依存します。 粒子の波動関数の式があると、それについて知ることができるすべてのことがわかります 物理システム、および観測可能な量のさまざまな値は、演算子を適用することによって取得できます。 それ。

波動関数の係数の2乗は、ある位置で粒子を見つける確率を示しますバツ与えられた時間にt. これは、関数が「正規化」されている場合にのみ当てはまります。つまり、すべての可能な位置の2乗係数の合計は、1に等しくなければなりません。つまり、粒子は次のようになります。特定の配置されるどこか​.

波動関数は確率的な情報しか提供しないため、1つの観測の結果を予測することはできませんが、できる多くの測定の平均を決定します。

波動関数を使用して、「期待値」時間での粒子の位置についてt、期待値はの平均値ですバツ測定を何度も繰り返すと得られます。

繰り返しますが、これは特定の測定については何も教えてくれません。 実際、波動関数は、具体的で信頼できるものよりも、単一粒子の確率分布に近いものです。 適切な演算子を使用することにより、運動量、エネルギー、およびその他の観測可能な量の期待値を取得することもできます。

シュレディンガー方程式は、線形偏微分方程式であり、 古典的なニュートンの法則（特に第2法則）と同様の方法での量子状態 力学。

ただし、シュレディンガー方程式は問題の粒子の波動関数の波動方程式であるため、この方程式を使用して将来の状態を予測します。 システムのは「波動力学」と呼ばれることもあります。 方程式自体はエネルギー保存の法則から導き出され、 ハミルトニアン。

書き留めるシュレディンガー方程式の最も簡単な形式は次のとおりです。

ここで、ℏは縮小されたプランク定数（つまり、定数を2πで割ったもの）であり、Hはハミルトニアン演算子であり、量子システムの位置エネルギーと運動エネルギー（総エネルギー）の合計に対応します。 ただし、ハミルトニアン自体はかなり長い式であるため、完全な方程式は次のように記述できます。

時々（明示的に3次元の問題の場合）、最初の偏導関数はラプラシアン演算子∇として記述されることに注意してください。². 基本的に、ハミルトニアンは波動関数に作用して、空間と時間の進化を記述します。 しかし、方程式の時間に依存しないバージョンでは（つまり、システムが依存しない場合）t）、ハミルトニアンはシステムのエネルギーを与えます。

シュレディンガー方程式を解くことは、量子力学的波動関数それは特定の状況でそれを満たします。

時間依存のシュレディンガー方程式は前のセクションのバージョンであり、時間と空間における粒子の波動関数の進化を説明しています。 考慮すべき単純なケースは、位置エネルギーのために自由粒子です。V= 0であり、解は平面波の形を取ります。 これらのソリューションの形式は次のとおりです。

どこk​ = 2π / ​λ,​ ​λは波長であり、ω​ = ​E​ / ℏ.

他の状況では、元の方程式の位置エネルギー部分は、 波動関数の空間部分であり、多くの場合、時間発展関数と時間に依存しない関数に分けられます。 方程式。

定在波を形成する静的な状況またはソリューション（ポテンシャル井戸、「ボックス内の粒子」スタイルのソリューションなど）の場合、波動関数を時間部分と空間部分に分離できます。

これを完全に実行すると、時間部分をキャンセルして、次のようなシュレディンガー方程式の形式を残すことができます。のみ粒子の位置に依存します。 時間に依存しない波動関数は次の式で与えられます。

ここにEは量子力学システムのエネルギーであり、Hハミルトニアン演算子です。 この形式の方程式は、波動関数を使用した固有値方程式の正確な形式を取ります。 は固有関数であり、エネルギーはハミルトニアン演算子が適用されたときの固有値です。 それに。 ハミルトニアンをより明確な形式に拡張すると、次のように完全に記述できます。

方程式の時間部分は次の関数に含まれています。

時間に依存しないシュレディンガー方程式は、方程式の完全な形式を切り詰めるため、かなり単純な解に適しています。 これの完璧な例は、「ボックス内の粒子」グループのソリューションです。このグループでは、粒子は1次元の無限二乗ポテンシャル井戸にあると想定されているため、ポテンシャルはゼロです（つまり、V= 0）全体を通して、粒子がウェルの外で見つかる可能性はありません。

有限の正方形の井戸もあり、井戸の「壁」のポテンシャルは無限ではなく、粒子のエネルギーよりも高くても、いくつか量子トンネリングにより、その外側の粒子を見つける可能性。 無限のポテンシャル井戸の場合、ソリューションは次の形式を取ります。

どこL井戸の長さです。

デルタ関数ポテンシャルは、幅を除いて、ポテンシャル井戸と非常によく似た概念です。Lゼロになり（つまり、単一の点の周りで微小になります）、井戸の深さは無限になりますが、2つの積（U​₀） 一定のまま。 この非常に理想的な状況では、次の式で与えられる束縛状態は1つだけです。

エネルギーあり：

最後に、水素原子の解は実際の物理学に明らかに適用されますが、実際には状況 水素原子の原子核の周りの電子は、ポテンシャル井戸と非常によく似ていると見なすことができます。 問題。 ただし、状況は3次元であり、球座標で最もよく説明されます。r​, ​θ​, ​ϕ. この場合の解決策は次のようになります。

どこPルジャンドル多項式は、R特定の放射状ソリューションであり、Nは、波動関数を正規化する必要があるという事実を使用して修正する定数です。 この方程式は、次の式で与えられるエネルギーレベルを生成します。

どこZこれが原子番号です（Z=水素原子の場合は1）、eこの場合、（定数ではなく）電子の電荷ですe​ = 2.7182818...), ​ϵ​₀ は自由空間の誘電率であり、μは換算質量であり、水素原子内の陽子と電子の質量に基づいています。 この表現は、水素のような原子、つまり中心核を周回する1つの電子が存在するあらゆる状況（イオンを含む）に適しています。