関数の統合は、微積分のコアアプリケーションの1つです。 次のように、これが簡単な場合もあります。
F（x）= \ int（x ^ 3 + 8）dx
このタイプの比較的複雑な例では、不定積分を積分するための基本式のバージョンを使用できます。
\ int（x ^ n + A）dx = \ frac {x ^ {（n + 1）}} {n + 1} + Ax + C
どこAそしてC定数です。
したがって、この例では、
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
基本的な平方根関数の統合
表面的には、平方根関数の統合は厄介です。 たとえば、次のような問題が発生する可能性があります。
F（x）= \ int \ sqrt {（x ^ 3）+ 2x-7} dx
ただし、平方根を指数1/2として表すことができます。
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3（1/2）} = x ^ {（3/2）}
したがって、積分は次のようになります。
\ int（x ^ {3/2} + 2x-7）dx
上から通常の式を適用できます。
\ begin {aligned} \ int（x ^ {3/2} + 2x-7）dx＆= \ frac {x ^ {（5/2）}} {5/2} + 2 \ bigg（\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg）-7x \\＆= \ frac {2} {5} x ^ {（5/2）} + x ^ 2-7x \ end {aligned}
より複雑な平方根関数の統合
この例のように、根号の下に複数の用語がある場合があります。
F（x）= \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x-3}} dx
あなたが使用することができますu-続行するための置換。 ここで、あなたは設定しますu分母の量に等しい：
u = \ sqrt {x-3}
これを解決するバツ両側を二乗して減算することによって：
u ^ 2 = x-3 \\ x = u ^ 2 + 3
これにより、dxを取得できます。uの導関数を取ることによってバツ:
dx =（2u）du
元の積分に代入すると、
\ begin {aligned} F（x）＆= \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u}（2u）du \\＆= \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\＆= \ int（2u ^ 2 + 8）du \ end {aligned}
これで、基本的な式を使用してこれを統合し、表現することができますuの面ではバツ:
\ begin {aligned} \ int（2u ^ 2 + 8）du＆= \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\＆= \ frac {2} {3}（\ sqrt {x- 3}）^ 3 + 8（\ sqrt {x-3}）+ C \\＆= \ frac {2} {3}（x-3）^ {（3/2）} + 8（x-3） ^ {（1/2）} + C \ end {aligned}