サインとコサインの概念を習得することは、三角法の不可欠な部分です。 しかし、これらのアイデアを自分のベルトの下に置くと、それらは三角法や、後で微積分学における他の便利なツールの構成要素になります。 たとえば、「余弦定理」は、知っている場合に三角形の欠けている辺を見つけるために使用できる特別な式です。 他の2つの辺の長さとそれらの間の角度、または3つすべてがわかっている場合に三角形の角度を見つける 側面。
余弦定理
余弦定理には、扱っている三角形の角度または辺に応じて、いくつかのバージョンがあります。
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 –2bc×\ cos（A）\\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 –2ac×\ cos（B）\\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 –2ab×\ cos（C）
いずれの場合にも、a, bそしてc三角形の辺であり、A, B、またはC同じ文字の辺の反対側の角度です。 そうA反対側の角度ですa、B反対側の角度ですb、およびC反対側の角度ですc. これは、三角形の1つの辺の長さを見つける場合に使用する方程式の形式です。
余弦定理は、三角形の3つの辺すべての長さがわかっていると仮定して、三角形の3つの角度のいずれかを簡単に見つけられるようにするバージョンで書き直すこともできます。
cos（A）= \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2} {2bc} \\ \、\\ cos（B）= \ frac {c ^ 2 + a ^ 2-b ^ 2} { 2ac} \\ \、\\ cos（C）= \ frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab}
直角三角形の辺を解く
余弦定理を使用して三角形の辺を解くには、三角形の他の2つの辺の長さと、それらの間の角度の3つの情報が必要です。 探したい側が方程式の左側にあり、すでに持っている情報が右側にある数式のバージョンを選択します。 だからあなたが辺の長さを見つけたいならa、あなたはバージョンを使用します
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc×\ cos（A）
2つの既知の辺の値、およびそれらの間の角度を式に代入します。 三角形に既知の辺がある場合bそしてcそれぞれ5単位と6単位を測定し、それらの間の角度は60度（ラジアンでπ/ 3として表されることもあります）を測定すると、次のようになります。
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2-（2×5×6）×\ cos（60）
テーブルまたは電卓を使用して、コサインの値を調べます。 この場合、cos（60）= 0.5であり、次の式が得られます。
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 –（2×5×6）×0.5
手順2の結果を単純化します。 これはあなたに与えます：
a ^ 2 = 25 + 36-30
これにより、次のように簡略化されます。
a ^ 2 = 31
両側の平方根を取り、解きを終了しますa. これにより、次のことが可能になります。
a = \ sqrt {31}
チャートまたは計算機を使用して√31（5.568）の値を見積もることができますが、多くの場合、答えをより正確な急進的な形式で残すことが許可され、さらには奨励されます。
角度を解く
三角形の3つの辺すべてがわかっている場合は、同じプロセスを適用して三角形の角度を見つけることができます。 今回は、等号の左側に欠落した角度または「わからない」角度を配置する数式のバージョンを選択します。 角度Cの測定値を見つけたいと想像してください（これは、覚えておいてください、反対側の角度として定義されていますc). このバージョンの式を使用します。
\ cos（C）= \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2} {2ab}
既知の値（このタイプの問題では、三角形の3つの辺すべての長さを意味します）を方程式に代入します。 例として、三角形の辺をa= 3ユニット、b= 4ユニットおよびc= 25ユニット。 したがって、方程式は次のようになります。
\ cos（C）= \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2--5 ^ 2} {2×3×4}
結果の方程式を単純化すると、次のようになります。
\ cos（C）= \ frac {0} {24}
または単にcos（C) = 0.
0の逆コサインまたはアークコサインを計算します。多くの場合、cosと表記されます。-1(0). または、言い換えると、どの角度のコサインが0ですか？ 実際には、この値を返す2つの角度があります。90度と270度です。 しかし、定義上、三角形のすべての角度は180度未満でなければならないため、オプションとして90度しか残されていません。
したがって、欠落した角度の測定値は90度です。これは、直角三角形を扱っていることを意味しますが、この方法は非直角三角形でも機能します。
