数学では、数の逆数は、元の数を掛けたときに1を生成する数です。 たとえば、変数xの逆数は1 /です。バツ、なぜなら
x×\ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
この例では、1 /バツの相互アイデンティティですバツ、 およびその逆。 三角法では、直角三角形の90度以外の角度のいずれかを、サイン、コサイン、タンジェントと呼ばれる比率で定義できます。 相互恒等式の概念を適用して、数学者はさらに3つの比率を定義します。 それらの名前は、余割、割線、および余割です。 コセカントはサインの相互アイデンティティであり、セカントはコサインのアイデンティティであり、コタンジェントはタンジェントのアイデンティティです。
相互アイデンティティを決定する方法
角度を考えるθ、これは直角三角形の2つの非90度の角度の1つです。 三角形の角度の反対側の辺の長さが「b、 "角度に隣接し、斜辺の反対側の辺の長さは"a"そして斜辺の長さは"r、 "これらの長さの観点から3つの主要な三角関数の比率を定義できます。
\ text {sine}θ= \sinθ= \ frac {b} {r} \\ \、\\ \ text {cosine}θ= \cosθ= \ frac {a} {r} \\ \、\\ \ text {tangent}θ= \tanθ= \ frac {b} {a} \\
罪の相互アイデンティティθ1 /sinθに等しくなければなりません。これは、sinを掛けたときにその数であるためです。θ、1を生成します。 同じことがcosにも当てはまりますθと日焼けθ. 数学者は、これらの逆数にそれぞれ余割、正割、および余割という名前を付けます。 定義により：
\ text {cosecant}θ= \cscθ= \ frac {1} {\sinθ} \\ \、\\ \ text {secant}θ= \secθ= \ frac {1} {\cosθ} \\ \、\\ \ text {cotangent}θ= \cotθ= \ frac {1} {\tanθ}
これらの相互アイデンティティは、直角三角形の辺の長さの観点から次のように定義できます。
\cscθ= \ frac {r} {b} \\ \、\\\secθ= \ frac {r} {a} \\ \、\\\cotθ= \ frac {a} {b}
次の関係はどの角度にも当てはまりますθ:
\sinθ×\cscθ= 1 \\\cosθ×\secθ= 1 \\\tanθ×\cotθ= 1
他の2つの三角関数公式
角度のサインとコサインがわかっている場合は、タンジェントを導出できます。 これは本当です
\sinθ= \ frac {b} {r} \ text {および} \cosθ= \ frac {a} {r} \ text {、したがって} \ frac {\sinθ} {\cosθ} = \ frac {b} {r}×\ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
これはtanθの定義であるため、商の恒等式として知られる次の恒等式は次のようになります。
\ frac {\sinθ} {\cosθ} = \tanθ\\\、\\ \ frac {\cosθ} {\sinθ} = \cotθ
ピタゴラスのアイデンティティは、辺のある直角三角形の場合、aそしてb斜辺と斜辺r、以下が当てはまります。a2 + b2 = r2. 項を並べ替え、正弦と余弦の観点から比率を定義すると、次の式になります。
\ sin ^2θ+ \ cos ^2θ= 1
上記の式にサインとコサインの相互IDを挿入すると、他に2つの重要な関係が続きます。
\ tan ^2θ+ 1 = \ sec ^2θ\\\ cot ^2θ+ 1 = \ csc ^2θ