振り子運動の法則

振り子には、物理​​学者が他のオブジェクトを記述するために使用する興味深いプロパティがあります。 たとえば、惑星の軌道は同様のパターンに従い、スイングセットでスイングすると、振り子に乗っているように感じる場合があります。 これらのプロパティは、振り子の動きを管理する一連の法則に基づいています。 これらの法則を学ぶことにより、物理学と一般的な運動の基本的な信条のいくつかを理解し始めることができます。

振り子の動きは、

その中でθ文字列と中心を下る垂直線との間の角度を表し、t時間を表し、Tは周期であり、振り子の動きの1つの完全なサイクルが発生するのに必要な時間です（1 / f）、振り子の動きの。

​単振動、またはオブジェクトの速度が平衡からの変位量に比例してどのように振動するかを表すモーションを使用して、振り子の方程式を記述することができます。 振り子のボブの揺れは、振り子が前後に動くときに作用するこの力によって動き続けます。

•••サイードフセインアザー

振り子の動きを支配する法律は、重要な財産の発見につながりました。 物理学者は力を垂直成分と水平成分に分割します。 振り子の動きでは、3つの力が振り子に直接作用します：ボブの質量、重力、弦の張力。 質量と重力は両方とも垂直下向きに機能します。 振り子は上下に動かないので、弦の張力の垂直成分が質量と重力を相殺します。

これは、振り子の質量がその動きとは関係がないことを示していますが、水平方向の弦の張力は関係があります。 単振動は円運動に似ています。 上の図に示すように、対応する円形パスでとる角度と半径を決定することにより、円形パスを移動するオブジェクトを記述することができます。 次に、円の中心、オブジェクトの位置、およびx方向とy方向の両方の変位の間の直角三角形の三角法を使用して、方程式を見つけることができます。x = rsin（θ）そしてy = rcos（θ）。​

単振動の物体の一次元方程式は次の式で与えられます。x = r cos（ωt）。さらに代用することができますAにとってrその中でAそれは振幅、オブジェクトの初期位置からの最大変位。

角速度ω時間に関してtこれらの角度のためにθによって与えられますθ=ωt. 角速度を周波数に関連付ける方程式を代入するとf​, ​ω = 2​​πf、この円運動を想像することができます。振り子が前後に揺れる一部として、結果として得られる単振動方程式は次のようになります。

•••サイードフセインアザー

ばねの塊のような振り子は、単純な調和振動子：振り子の変位量に応じて増加する復元力があり、振り子の動きは単純な調和振動子方程式​

その中でθ文字列と中心を下る垂直線との間の角度を表し、t時間を表し、Tそれは限目、振り子の動きの1つの完全なサイクルが発生するのに必要な時間（1 / f）、振り子の動きの。

​θ_最大は、振り子の動作中に振動する角度の最大値を定義する別の方法であり、振り子の振幅を定義する別の方法です。 この手順については、以下の「簡単な振り子の定義」のセクションで説明します。

単純な振り子の法則のもう1つの意味は、一定の長さの振動の周期が、弦の端にある物体のサイズ、形状、質量、および材料に依存しないことです。 これは、単純な振り子の導出と結果の方程式によって明確に示されます。

あなたはのための方程式を決定することができますシンプルな振り子、振り子の運動方程式から始まる一連のステップからの、単純な調和振動子に依存する定義。 振り子の重力は振り子の動きの力に等しいので、振り子の質量を持つニュートンの第2法則を使用して、それらを互いに等しく設定できます。M、文字列の長さL、角度θ,重力加速度gと時間間隔t​.

•••サイードフセインアザー

ニュートンの第2法則を慣性モーメントに等しく設定しますI = mr²ある程度の質量のためにm円運動の半径（この場合は弦の長さ）r角加速度の倍α​.

1. ​ΣF= Ma：ニュートンの第2法則は、正味の力はΣFオブジェクトの質量は、オブジェクトの質量に加速度を掛けたものに等しくなります。
2. ​Ma =Iα：これにより、重力加速度の力を設定できます（-Mg sin（θ）L）回転の力に等しい
   
3. ​-Mg sin（θ）L = Iα​：重力による垂直力の方向を取得できます（-Mg）加速度を次のように計算することによってsin（θ）Lもしsin（θ）= d / L一部の水平変位の場合dと角度θ​ 方向性を説明するために。
   
4. ​-Mg sin（θ）L = ML² α: ストリングの長さLを半径として使用して、回転体の慣性モーメントの式を代入します。
   
5. ​-Mg sin（θ）L = -ML²​​d²θ/ dt：時間に関する角度の二次導関数を次のように代入することにより、角加速度を説明します。α.このステップには、微積分と微分方程式が必要です。
   
6. ​d²θ/ dt² +（g / L）sinθ= 0：これは、方程式の両辺を並べ替えることで得られます。
   
7. ​d²θ/ dt² +（g / L）θ= 0：概算できますsin（θ）なのでθ非常に小さな振動角での単純な振り子の目的のために
   
8. ​θ（t）=θ_最大cos（t（L / g）²)：運動方程式にはこの解があります。 この方程式の2次導関数を取り、ステップ7を取得するように作業することで、それを検証できます。

単純な振り子の導関数を作成する方法は他にもあります。 各ステップの背後にある意味を理解して、それらがどのように関連しているかを確認します。 これらの理論を使用して単純な振り子の動きを説明できますが、単純な振り子理論に影響を与える可能性のある他の要因も考慮する必要があります。

この導出の結果を比較すると

単純な調和振動子の方程式にbyそれらを互いに等しく設定すると、期間Tの方程式を導出できます。

この方程式は質量に依存しないことに注意してくださいM振り子の振幅θ_最大、または時間通りにt. つまり、周期は質量、振幅、時間に依存しませんが、代わりに弦の長さに依存します。 振り子の動きを簡潔に表現できます。

ある期間の方程式を使用して、方程式を並べ替えて次の式を取得できます。

の代わりに1秒Tそして9.8 m / s²にとってg取得するL =0.0025メートル。 単純な振り子理論のこれらの方程式は、弦の長さが摩擦や質量がないことを前提としていることに注意してください。 これらの要因を考慮に入れるには、より複雑な方程式が必要になります。

振り子を後ろに引くことができますθバネのように前後に揺らして振動するのを確認します。 単純な振り子の場合、単純な調和振動子の運動方程式を使用してそれを記述することができます。 運動方程式は、角度の値が小さい場合にうまく機能します。振幅、最大角度。単純な振り子モデルは、次の近似に依存しているためです。sin（θ）​ ≈ ​θ振り子の角度についてθ.角度と振幅の値が約20度より大きくなると、この近似も機能しなくなります。

ぜひお試しください。 初期角度が大きい振り子θ単純な調和振動子を使用してそれを記述することができるように、定期的に振動することはありません。 より小さな初期角度でθ、振り子は通常の振動運動にはるかに簡単に近づきます。 振り子の質量はその動きとは関係がないため、物理学者はすべての振り子が同じ振動周期を持っていることを証明しました 角度–最高点の振り子の中心と停止位置の振り子の中心の間の角度–20未満 度。

動いている振り子のすべての実用的な目的のために、振り子は最終的に減速し、 振り子と空気の間の空気抵抗によるだけでなく、弦とその上の固定点の間の摩擦 その周りに。

振り子の動きの実際的な例では、周期と速度は、摩擦と空気抵抗のこれらの例を引き起こす使用される材料のタイプに依存します。 これらの力を考慮せずに理論的な振り子の振動挙動を計算すると、無限に振動する振り子が考慮されます。

ニュートンの最初の法則は、力に応じた物体の速度を定義します。 法則によれば、物体が特定の速度で直線的に移動する場合、他の力が作用しない限り、その物体はその速度で直線的に無限に移動し続けます。 ボールをまっすぐ前方に投げると想像してみてください。空気抵抗と重力がボールに作用しなかった場合、ボールは地球を何度も回ります。 この法則は、振り子が上下ではなく左右に動くため、振り子に作用する上下の力がないことを示しています。

ニュートンの第2法則は、重力を振り子に引き戻す弦の力に等しく設定することにより、振り子にかかる正味の力を決定する際に使用されます。 これらの方程式を互いに等しく設定すると、振り子の運動方程式を導き出すことができます。

ニュートンの第3法則は、すべての行動には等しい力の反応があると述べています。 この法則は、質量と重力が弦張力ベクトルの垂直成分を相殺するものの、水平成分を相殺するものはないことを示す最初の法則と連動します。 この法則は、振り子に作用する力が互いに打ち消し合う可能性があることを示しています。

物理学者は、ニュートンの第1法則、第2法則、および第3法則を使用して、水平方向の弦の張力が質量や重力に関係なく振り子を動かすことを証明します。 単純な振り子の法則は、ニュートンの3つの運動の法則の考え方に従います。