פונקציות מתמטיות הן כלים עוצמתיים לעסקים, הנדסה ומדעים מכיוון שהם יכולים לשמש מודלים זעירים של תופעות בעולם האמיתי. כדי להבין פונקציות ויחסים, עליך לחפור מעט במושגים כגון קבוצות, זוגות מסודרים ויחסים. פונקציה היא סוג מיוחד של יחס שיש לו רק אחדyערך נתוןאיקסערך. קיימים סוגים אחרים של יחסים שנראים כמו פונקציות אך אינם עונים להגדרה המחמירה של יחסים.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
יחס הוא קבוצה של מספרים המאורגנים לזוגות. פונקציה היא סוג מיוחד של יחס שיש לו רק אחדyערך נתוןאיקסערך.
סטים, זוגות מסודרים ויחסים
כדי לתאר יחסים ופונקציות, זה עוזר לדון תחילה בקבוצות ובזוגות מסודרים. בקצרה, קבוצת מספרים היא אוסף של אותם, הכלולים בדרך כלל בתוך סוגריים מסולסלים, כגון {15,1, 2/3} או {0, .22}. בדרך כלל, אתה מגדיר קבוצה עם כלל, כגון כל המספרים הזוגיים בין 2 ל -10, כולל: {2,4,6,8,10}.
קבוצה יכולה להכיל מספר כלשהו של אלמנטים, או אף אחד מהם בכלל, כלומר ערכת האפס {}. זוג מסודר הוא קבוצה של שני מספרים הכלולים בסוגריים, כגון (0,1) ו- (45, -2). מטעמי נוחות, אתה יכול לקרוא לערך הראשון בזוג שהוזמןאיקסערך, והשנייה -yערך. קשר מארגן זוגות מסודרים לסט. לדוגמה, הסט {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} הוא יחס. אתה יכול להתוות את
איקסוyערכים של יחס בגרף באמצעותאיקסוyגרזנים.יחסים ופונקציות
פונקציה היא יחס שבו נתון כלשהואיקסערך אחד מקביל רקyערך. אתה עשוי לחשוב שעם זוגות מסודרים, כל אחדאיקסיש רק אחדyערך בכל מקרה. עם זאת, בדוגמה של יחס שניתן לעיל, שים לב כי ה-איקסלערכים 1 ו -2 כל אחד מהם מתאים לשנייםyערכים, 0 ו- 5, ו- 10 ו- 15 בהתאמה. יחס זה אינו פונקציה. הכלל נותן ליחס הפונקציה סופיות שאחרת לא קיימת, מבחינתאיקסערכים. אתה יכול לשאול מתיאיקסהוא 1, מה זהyערך? ביחס הנ"ל אין לשאלה תשובה מוגדרת; זה יכול להיות 0, 5 או שניהם.
כעת בדוק דוגמה ליחס שהוא פונקציה אמיתית: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. האיקסערכים לא חוזרים על עצמם בשום מקום. כדוגמה נוספת, הסתכל על {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. כמהyערכים חוזרים על עצמם, אך הדבר אינו מפר את הכלל. אתה עדיין יכול לומר שכאשר הערך שלאיקסהוא 0,yהוא בהחלט 5.
פונקציות גרפים: בדיקת קו אנכי
אתה יכול לדעת אם יחס הוא פונקציה על ידי התוויית המספרים בתרשים והחלת מבחן הקו האנכי. אם שום קו אנכי העובר דרך הגרף חוצה אותו ביותר מנקודה אחת, היחס הוא פונקציה.
מתפקד כמשוואות
כתיבת קבוצה של זוגות מסודרים כפונקציה מהווה דוגמה קלה, אך במהירות מייגעת כאשר יש לך מספרים ספורים. כדי לטפל בבעיה זו, מתמטיקאים כותבים פונקציות במונחים של משוואות, כגון
y = x ^ 2 - 2x + 3
באמצעות משוואה קומפקטית זו, ניתן ליצור כמה זוגות מסודרים שתרצו: חברו ערכים שונים עבוראיקס, תעשה את המתמטיקה, ותצא שלךyערכים.
שימושים בפונקציות בעולם האמיתי
פונקציות רבות משמשות כמודלים מתמטיים, המאפשרות לאנשים להבין פרטים על תופעות שאחרת היו נשארות מסתוריות. אם ניקח דוגמה פשוטה, משוואת המרחק של אובייקט נופל היא
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
איפהtהוא זמן בשניות, וזהיא התאוצה הנובעת מכוח המשיכה. חבר 9.8 לכוח המשיכה של כדור הארץ במטר לשנייה בריבוע ותוכל למצוא את המרחק שהאובייקט הפיל בכל ערך בזמן. שים לב שלמרות התועלת שלהם, למודלים יש מגבלות. משוואת הדוגמה עובדת היטב להפלת כדור פלדה אך לא נוצה מכיוון שהאוויר מאט את הנוצה כלפי מטה.