אלגברה מסמנת את הקפיצה הרעיונית האמיתית הראשונה שעל התלמידים לעשות בעולם המתמטיקה, ולומדת לתפעל משתנים ולעבוד עם משוואות. כשתתחיל לעבוד עם משוואות, תיתקל בכמה אתגרים נפוצים, כולל מעריכים, שברים ומשתנים מרובים. ניתן לשלוט בכל אלה בעזרת כמה אסטרטגיות בסיסיות.
האסטרטגיה הבסיסית למשוואות אלגבריות
האסטרטגיה הבסיסית לפתרון כל משוואה אלגברית היא לבודד תחילה את המונח המשתנה בצד אחד של המשוואה, ואז השתמש בפעולות הפוכות לפי הצורך כדי להוציא מקדמים או מעריכים. פעולה הפוכה "מבטלת" פעולה אחרת; למשל, חלוקה "מבטלת" את הכפל של מקדם, ושורשים מרובעים "מבטלים" את פעולת הריבוע של מערך כוח שני.
שים לב שאם אתה מחיל פעולה על צד אחד של המשוואה, עליך להחיל את אותה פעולה על הצד השני של המשוואה. על ידי שמירה על כלל זה תוכלו לשנות את אופן כתיבת תנאי המשוואה מבלי לשנות את יחסם זה לזה.
פתרון משוואות עם אקספוננטים
סוגי המשוואות עם המעריכים שתיתקל בהם במהלך מסע האלגברה שלך יכולים למלא בקלות ספר שלם. לעת עתה, התמקדו בשליטה במשוואות מעריכים הבסיסיות ביותר, שם יש לכם מונח משתנה יחיד עם מעריכ. לדוגמה:
y ^ 2 + 3 = 19
מחסרים 3 משני צידי המשוואה ומשאירים את המונח המשתנה מבודד בצד אחד:
y ^ 2 = 16
הרחיקו את המעריך מהמשתנה על ידי יישום רדיקל של אותו אינדקס. זכרו, עליכם לעשות זאת לשני צידי המשוואה. במקרה זה פירושו לקחת את השורש הריבועי של שני הצדדים:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
מה שמפשט ל:
y = 4
פתרון משוואות עם שברים
מה אם המשוואה שלך כוללת שבר? שקול את הדוגמה של
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
אם אתה מחלק את השבר 3/4 על פני (איקס+ 7), הדברים יכולים להיות מבולגנים במהירות. הנה אסטרטגיה הרבה יותר פשוטה.
הכפל את שני צידי המשוואה במכנה השבר. במקרה זה, פירוש הדבר להכפיל את שני צידי השבר ב- 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
לפשט את שני צידי המשוואה. זה מסתדר ל:
3 (x + 7) = 24
תוכל לפשט שוב, וכתוצאה מכך:
3x + 21 = 24
הפחת 21 משני הצדדים, בידוד את המונח המשתנה בצד אחד של המשוואה:
3x = 3
לבסוף, חלק את שני צידי המשוואה ב -3 כדי לסיים את הפתרוןאיקס:
x = 1
פתרון משוואה אחת עם שני משתנים
אם יש לךאחדמשוואה עם שני משתנים, כנראה שתתבקש לפתור רק אחד מהמשתנים האלה. במקרה כזה אתה פועל באותה פרוצדורה בה השתמשת בכל משוואה אלגברית עם משתנה אחד. שקול את הדוגמה
5x + 4 = 2y
אם תתבקש לפתוראיקס.
גרע 3 מכל צד של המשוואה והשאיר אתאיקסמונח בפני עצמו בצד אחד של סימן השווה:
5x = 2y - 4
חלק את שני צידי המשוואה ב- 5 כדי להסיר את המקדם מה-איקסטווח:
x = \ frac {2y - 4} {5}
אם לא נמסר לך מידע אחר, זה ככל שאתה יכול לקחת את החישובים.
פתרון שתי משוואות עם שני משתנים
אם ניתנת לך מערכת (או קבוצה) שלשתייםמשוואות שיש בהן שני משתנים זהים, זה בדרך כלל אומר שהמשוואות קשורות - ותוכלו להשתמש בטכניקה הנקראת החלפה כדי למצוא ערכים עבור שני המשתנים. שקול את המשוואה מהדוגמה האחרונה, בתוספת משוואה שנייה וקשורה המשתמשת באותם משתנים:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
בחר משוואה אחת ופתור את המשוואה עבור אחד המשתנים. במקרה זה, השתמש במה שכבר ידוע לך על המשוואה הראשונה מהדוגמה הקודמת, שכבר פתרת עבורהאיקס:
x = \ frac {2y - 4} {5}
החלף את התוצאה משלב 1 למשוואה האחרת. במילים אחרות, החלף את הערך (2y- 4) / 5 לכל מקרה שלאיקסבמשוואה האחרת. זה נותן לך משוואה עם משתנה אחד בלבד:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
לפשט את המשוואה משלב 2 ולפתור את המשתנה הנותר, שהוא במקרה זהy.
התחל על ידי הכפלת שני הצדדים ב- 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
זה מפשט ל:
2y - 4 + 15y = 115
לאחר שילוב של מונחים דומים, הדבר מפשט עוד יותר ל:
17y = 119
ולבסוף, לאחר שחילקתם את שני הצדדים ב- 17, יש לכם:
y = 7
החלף את הערך משלב 3 למשוואה משלב 1. זה נותן לך:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
מה שמפשט לחשוף את הערך שלאיקס:
x = 2
אז הפיתרון למערכת משוואות זו הואאיקס= 2 וy = 7.