סדרת טיילור היא שיטה מספרית לייצוג פונקציה נתונה. לשיטה זו יש יישום בתחומי הנדסה רבים. במקרים מסוימים, כגון העברת חום, ניתוח דיפרנציאלי גורם למשוואה שמתאימה לצורת סדרת טיילור. סדרת טיילור יכולה גם לייצג אינטגרל אם האינטגרל של פונקציה זו אינו קיים מבחינה אנליטית. ייצוגים אלה אינם ערכים מדויקים, אך חישוב מונחים נוספים בסדרה יהפוך את הקירוב ליותר מדויק.
בחר מרכז לסדרת טיילור. המספר הזה הוא שרירותי, אך מומלץ לבחור מרכז בו קיימת סימטריה בפונקציה או כאשר הערך עבור המרכז מפשט את המתמטיקה של הבעיה. אם אתה מחשב את ייצוג סדרת טיילור של f (x) = sin (x), מרכז טוב לשימוש הוא a = 0.
קבע את מספר המונחים שברצונך לחשב. ככל שתשתמש יותר במונחים כך הייצוג שלך יהיה מדויק יותר, אך מכיוון שסדרת טיילור היא סדרה אינסופית, אי אפשר לכלול את כל המונחים האפשריים. הדוגמה sin (x) תשתמש בשש מונחים.
חשב את הנגזרות להן תזדקק לסדרה. לדוגמא זו, עליך לחשב את כל הנגזרות עד הנגזרת השישית. מכיוון שסדרת טיילור מתחילה ב- "n = 0", עליך לכלול את הנגזרת "0", שהיא רק הפונקציה המקורית. נגזרת 0 = sin (x) 1st = cos (x) 2nd = -sin (x) 3rd = -cos (x) 4th = sin (x) 5th = cos (x) 6th = -sin (x)
חשב את הערך עבור כל נגזרת במרכז שבחרת. ערכים אלה יהיו המונים בשש הקדנציות הראשונות של סדרת טיילור. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1-sin (0) = 0
השתמש בחישובי הנגזרות ובמרכז כדי לקבוע את מונחי סדרת טיילור. קדנציה ראשונה; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 קדנציה שנייה; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! קדנציה שלישית; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! קדנציה 4; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! קדנציה חמישית; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! קדנציה 6; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! סדרת טיילור לחטא (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
שחרר את מונחי האפס בסדרה ופשט את הביטוי באופן אלגברי כדי לקבוע את הייצוג הפשוט של הפונקציה. זו תהיה סדרה אחרת לגמרי, כך שהערכים של "n" ששימשו בעבר כבר לא חלים. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... חטא (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... מכיוון שהסימנים מתחלפים בין חיובי לשלילי, הרכיב הראשון במשוואה הפשוטה חייב להיות (-1) ^ n, מכיוון שאין סדרה זוגית בסדרה. המונח (-1) ^ n מביא לסימן שלילי כאשר n הוא אי זוגי ולסימן חיובי כאשר n הוא שווה. ייצוג הסדרה של מספרים אי זוגיים הוא (2n + 1). כאשר n = 0, מונח זה שווה ל -1; כאשר n = 1, מונח זה שווה 3 וכן הלאה לאינסוף. בדוגמה זו, השתמש בייצוג זה עבור המעריכים של x ושל המפעלים במכנה
השתמש בייצוג הפונקציה במקום הפונקציה המקורית. למשוואות מתקדמות וקשות יותר, סדרת טיילור עשויה להפוך משוואה בלתי ניתנת לפתירה לפיתית, או לפחות לתת פיתרון מספרי סביר.