כיצד למצוא משוואה אקספוננציאלית עם שתי נקודות

אם אתה מכיר שתי נקודות הנופלות על עקומה אקספוננציאלית מסוימת, תוכל להגדיר את העקומה על ידי פתרון הפונקציה האקספוננציאלית הכללית באמצעות נקודות אלה. בפועל, המשמעות היא החלפת הנקודות ב- y וב- x במשוואה y = ab^איקס. ההליך קל יותר אם ערך ה- x עבור אחת הנקודות הוא 0, כלומר הנקודה נמצאת על ציר ה- y. אם לאף נקודה אין ערך x אפס, התהליך לפתרון עבור x ו- y הוא טיפה יותר מסובך.

מערכות חשובות רבות עוקבות אחר דפוסים אקספוננציאליים של צמיחה וריקבון. לדוגמא, מספר החיידקים במושבה בדרך כלל גדל באופן אקספוננציאלי, וקרינת הסביבה באטמוספירה בעקבות אירוע גרעיני בדרך כלל פוחתת באופן אקספוננציאלי. על ידי לקיחת נתונים ותכנון עקומה, מדענים נמצאים במצב טוב יותר לחזות.

כל נקודה בגרף דו מימדי יכולה להיות מיוצגת על ידי שני מספרים, שלרוב כתובים ב- in הטופס (x, y), כאשר x מגדיר את המרחק האופקי מהמקור ו- y מייצג את האנכי מֶרְחָק. לדוגמא, הנקודה (2, 3) היא שתי יחידות מימין לציר y ושלוש יחידות מעל ציר ה- x. מצד שני, הנקודה (-2, -3) היא שתי יחידות משמאל לציר y. ושלוש יחידות מתחת לציר ה- x.

אם יש לך שתי נקודות, (x₁, y₁) ו- (x₂, y₂), תוכלו להגדיר את הפונקציה האקספוננציאלית שעוברת דרך נקודות אלה על ידי החלפתן במשוואה y = ab^איקס ופתרון עבור a ו- b. באופן כללי, עליך לפתור את צמד המשוואות הזה:

y₁ = ab^x1 ו- y₂ = ab^x2, .

בצורה זו המתמטיקה נראית מעט מסובכת, אך היא נראית פחות לאחר שעשיתם כמה דוגמאות.

אם אחד מערכי ה- x - אמור x₁ - הוא 0, הפעולה הופכת לפשוטה מאוד. לדוגמא, פתרון המשוואה לנקודות (0, 2) ו- (2, 4) מניב:

2 = ab⁰ ו -4 = ab². מכיוון שאנחנו יודעים שב⁰ = 1, המשוואה הראשונה הופכת ל -2 = a. החלפת a במשוואה השנייה מניבה 4 = 2b², אותם אנו מפשטים לב² = 2, או b = שורש ריבועי של 2, השווה לערך 1.41. הפונקציה המגדירה היא אז y = 2 (1.41)^איקס.

אם אף ערך ה- x אינו אפס, פתרון זוג המשוואות הוא מעט מסורבל יותר. Henochmath מעביר אותנו בדוגמה קלה להבהרת הליך זה. בדוגמה שלו הוא בחר את צמד הנקודות (2, 3) ו- (4, 27). זה מניב את צמד המשוואות הבא:

27 = ab⁴

3 = ab²

אם מחלקים את המשוואה הראשונה בשנייה, מקבלים

9 = ב²

אז b = 3. יתכן שגם b יהיה שווה ל- -3, אך במקרה זה, נניח שהוא חיובי.

אתה יכול להחליף ערך זה ב- b בשתי המשוואות כדי לקבל a. קל יותר להשתמש במשוואה השנייה, לכן:

3 = a (3)² שניתן לפשט ל 3 = a9, a = 3/9 או 1/3.

ניתן לכתוב את המשוואה העוברת בנקודות אלה כ- y = 1/3 (3)^איקס.

מאז 1910, גידול האוכלוסייה האנושית היה אקספוננציאלי, ועל ידי תכנון עקומת צמיחה, מדענים נמצאים במצב טוב יותר לחזות ולתכנן את העתיד. בשנת 1910 אוכלוסיית העולם הייתה 1.75 מיליארד, ובשנת 2010 היא הייתה 6.87 מיליארד. אם ניקח את שנת 1910 כנקודת ההתחלה, זה נותן את צמד הנקודות (0, 1.75) ו- (100, 6.87). מכיוון שערך ה- x של הנקודה הראשונה הוא אפס, אנו יכולים למצוא בקלות a.

1.75 = ab⁰ או a = 1.75. חיבור ערך זה, יחד עם הערכים של הנקודה השנייה, למשוואה האקספוננציאלית הכללית מייצר 6.87 = 1.75b¹⁰⁰, שנותן את הערך של b כשורש המאה של 6.87 / 1.75 או 3.93. אז המשוואה הופכת y = 1.75 (שורש מאה של 3.93)^איקס. אף על פי שנדרש יותר מכלל שקופיות בכדי לעשות זאת, מדענים יכולים להשתמש במשוואה זו כדי להקרין מספר אוכלוסיות עתידי כדי לעזור לפוליטיקאים בהווה ליצור מדיניות הולמת.