שום דבר לא משבש משוואה ממש כמו לוגריתמים. הם מסורבלים, קשים לתמרון וקצת מסתוריים עבור אנשים מסוימים. למרבה המזל, יש דרך קלה להיפטר מהמשוואה שלך מהביטויים המתמטיים המציקים האלה. כל שעליך לעשות הוא לזכור כי לוגריתם הוא ההפוך של אקספוננט. למרות שבסיס הלוגריתם יכול להיות מספר כלשהו, הבסיסים הנפוצים ביותר המשמשים במדע הם 10 ו- e, שהוא מספר לא רציונלי המכונה מספר אוילר. כדי להבדיל ביניהם, מתמטיקאים משתמשים ב"יומן "כאשר הבסיס הוא 10 וב-" ln "כאשר הבסיס הוא e.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
כדי להיפטר ממשוואת לוגריתמים, הרם את שני הצדדים לאותו אקספוננט כמו בסיס הלוגריתמים. במשוואות עם מונחים מעורבים, אסוף את כל הלוגריתמים בצד אחד ופשט ראשון.
מהו לוגריתם?
הרעיון של לוגריתם הוא פשוט, אבל קצת קשה לנסח אותו במילים. לוגריתם הוא מספר הפעמים שעליך להכפיל מספר בפני עצמו בכדי לקבל מספר נוסף. דרך נוספת לומר זאת היא כי לוגריתם הוא הכוח אליו יש להעלות מספר מסוים - הנקרא בסיס - כדי לקבל מספר נוסף. הכוח נקרא טיעון הלוגריתם.
לדוגמה, היכנס82 = 64 פשוט אומר שהעלאת 8 לכוח של 2 נותנת 64. ביומן המשוואה איקס = 100, הבסיס מובן כ -10, ואתה יכול לפתור בקלות את הוויכוח,
איקס כי זה עונה על השאלה, "10 הועלה לאיזה כוח שווה 100?" התשובה היא 2.לוגריתם הוא ההפך של אקספוננט. יומן המשוואות איקס = 100 היא דרך נוספת לכתוב 10_איקס_ = 100. קשר זה מאפשר להסיר לוגריתמים ממשוואה על ידי העלאת שני הצדדים לאותו אקספוננט כמו בסיס הלוגריתם. אם המשוואה מכילה יותר מלוגריתם אחד, עליהם להיות בעלי אותו הבסיס כדי שזה יעבוד.
דוגמאות
במקרה הפשוט ביותר, הלוגריתם של מספר לא ידוע שווה למספר אחר:
\ log x = y
העלו את שני הצדדים למעריכים של 10, ותקבלו
10 ^ {\ log x} = 10 ^ y
מאז 10(יומן x) זה פשוט איקס, המשוואה הופכת
x = 10 ^ y
כשכל המונחים במשוואה הם לוגריתמים, העלאת שני הצדדים למעריך מייצרת ביטוי אלגברי סטנדרטי. למשל, העלו
\ log (x ^ 2 - 1) = \ log (x + 1)
בהספק של 10 ותקבל:
x ^ 2 - 1 = x + 1
שמפשט ל
x ^ 2 - x - 2 = 0.
הפתרונות הם איקס = −2; איקס = 1.
במשוואות המכילות תערובת של לוגריתמים ומונחים אלגבריים אחרים, חשוב לאסוף את כל הלוגריתמים בצד אחד של המשוואה. לאחר מכן תוכל להוסיף או להפחית מונחים. על פי חוק הלוגריתמים הדברים נכונים:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
הנה הליך לפתרון משוואה במונחים מעורבים:
התחל במשוואה: למשל
\ log x = \ log (x - 2) + 3
סדר מחדש את התנאים:
\ log x - \ log (x - 2) = 3
החל את חוק הלוגריתמים:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
העלה את שני הצדדים לעוצמה של 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
לפתור עבור איקס:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2.002