ביטויים רציונליים נראים מסובכים יותר ממספרים שלמים בסיסיים, אך קל להבין את הכללים להכפלתם ולחלוקתם. בין אם אתה מתמודד עם ביטוי אלגברי מסובך או מתמודד עם שבר פשוט, כללי הכפל והחלוקה הם זהים בעצם. לאחר שתלמד מהם ביטויים רציונליים וכיצד הם קשורים לשברים רגילים, תוכל להכפיל ולחלק אותם בביטחון.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
כפל וחלוקת ביטויים רציונליים פועלת ממש כמו הכפלת חלוקה וחלוקה. כדי להכפיל שני ביטויים רציונליים, הכפל את המונים יחד ואז הכפל את המכנים יחד.
כדי לחלק ביטוי רציונלי אחד לאחר, פעל לפי אותם כללים כמו חלוקת שבר אחד בשני. ראשית, הפוך את השבר במחלק (אותו אתה מחלק), ואז הכפל אותו בשבר בדיבידנד (אותו אתה מחלק).
מהו ביטוי רציונלי?
המונח "ביטוי רציונלי" מתאר שבר שבו המונה והמכנה הם פולינומים. פולינום הוא ביטוי כמו
2x ^ 2 + 3x + 1
מורכב מקבועים, משתנים ומעריכים (שאינם שליליים). הביטוי הבא:
\ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4}
מספק דוגמא לביטוי רציונלי. זה בעצם יש צורה של שבר, רק עם מניין ומכנה מורכבים יותר. שים לב שהביטויים הרציונליים תקפים רק כאשר המכנה אינו שווה לאפס, כך שהדוגמה לעיל תקפה רק כאשראיקס ≠ 2.
הכפלת ביטויים רציונליים
הכפלת ביטויים רציונליים נוהגת על פי אותם הכללים כמו הכפלת כל שבר. כאשר מכפילים שבר, מכפילים מונה אחד בשני ומכנה אחד בשני וכאשר מכפילים ביטויים רציונליים, אתה מכפיל מונה שלם אחד במונה השני ואת המכנה כולו בשני מְכַנֶה.
עבור שבר שאתה כותב:
\ התחל {align} \ frac {2} {5} × \ frac {4} {7} & = \ frac {2 × 4} {5 × 7} \\ \, \\ & = \ frac {8} { 35} \ end {מיושר}
עבור שני ביטויים רציונליים, אתה משתמש באותו תהליך בסיסי:
\ התחל {מיושר} \ frac {x + 5} {x - 4} × \ frac {x} {x + 1} & = \ frac {(x + 5) × x} {(x - 4) × (x + 1)} \\ \, \\ & = \ frac {x ^ 2 + 5x} {x ^ 2 -4x + x - 4} \\ \, \\ & = \ frac {x ^ 2 + 5x} { x ^ 2 - 3x - 4} \ end {מיושר}
כאשר מכפילים מספר שלם (או ביטוי אלגברי) בשבר, פשוט מכפילים את מונה השבר במספר השלם. הסיבה לכך היא שכל מספר שלםנניתן לכתוב כנ/ 1, ואז בעקבות הכללים הסטנדרטיים להכפלת שברים, הגורם 1 אינו משנה את המכנה. הדוגמה הבאה ממחישה זאת:
\ התחל {מיושר} \ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4} × x & = \ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4} × \ frac {x} {1} \\ \, \\ & = \ frac {(x + 5) × x} {(x ^ 2 - 4) × 1} \\ \, \\ = & \ frac {x ^ 2 + 5x} {x ^ 2 - 4} \ end {align}
חלוקת ביטויים רציונליים
כמו להכפל ביטויים רציונליים, חלוקת ביטויים רציונליים הולכת לפי אותם כללים בסיסיים כמו חלוקת שברים. כשמחלקים שני שברים, הופכים את השבר השני כצעד הראשון ואז מכפילים אותו. כך:
\ התחל {align} \ frac {4} {5} ÷ \ frac {3} {2} & = \ frac {4} {5} × \ frac {2} {3} \\ \, \\ & = \ frac {4 × 2} {5 × 3} \\ \, \\ & = \ frac {8} {15} \ end {align}
חלוקת שני ביטויים רציונליים פועלת באותו אופן, כך:
\ התחל {מיושר} \ frac {x + 3} {2x ^ 2} ÷ \ frac {4} {3x} & = \ frac {x + 3} {2x ^ 2} × \ frac {3x} {4} \ \ \, \\ & = \ frac {(x + 3) × 3x} {2x ^ 2 × 4} \\ \, \\ & = \ frac {3x ^ 2 + 9x} {8x ^ 2} \ end { מיושר}
ניתן לפשט את הביטוי הזה מכיוון שיש גורם שלאיקס(לְרַבּוֹתאיקס2) בשני המונחים במניין וגורםאיקס2 במכנה. קבוצה אחת שלאיקסs יכולים לבטל כדי לתת:
\ התחל {מיושר} \ frac {3x ^ 2 + 9x} {8x ^ 2} & = \ frac {x (3x + 9)} {8x ^ 2} \\ & = \ frac {3x + 9} {8x} \ end {align}
אתה יכול לפשט ביטויים רק כאשר אתה יכול להסיר גורם מכל הביטוי בחלק העליון והתחתון כנ"ל. הביטוי הבא:
\ frac {x - 1} {x}
לא ניתן לפשט באותו אופן מכיוון שה-איקסבמכנה מחלק את כל המונח במניין. אתה יכול לכתוב:
\ התחל {align} \ frac {x-1} {x} & = \ frac {x} {x} - \ frac {1} {x} \\ & = 1 - \ frac {1} {x} \ end {מיושר}
אם אתה רוצה.