כל תלמידי המתמטיקה וסטודנטים רבים למדעים נתקלים בפולינומים בשלב כלשהו במהלך הלימודים, אך למרבה המזל קל להתמודד איתם ברגע שלמדת את היסודות. הפעולות העיקריות שתצטרך לעשות עם ביטויים פולינומיים הן הוספה, חיסור, הכפלת ו חלוקה, ולמרות שחלוקה יכולה להיות מורכבת, לרוב תוכלו להתמודד איתה עם היסודות קַלוּת.
פולינומים: הגדרה ודוגמאות
פולינום מתאר ביטוי אלגברי עם מונח אחד או יותר הכוללים משתנה (או יותר מאחד), עם מעריכים ואולי קבועים. הם לא יכולים לכלול חלוקה על ידי משתנה, אינם יכולים לקבל מעריצים שליליים או חלקים וחייבים להכיל מספר סופי של מונחים.
דוגמה זו מציגה פולינום:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
וזה מראה עוד אחד:
xy ^ 2 - 3 x + y
ישנן דרכים רבות לסווג פולינומים, כולל לפי דרגות (סכום המעריכים בטווח הכוח הגבוה ביותר, למשל 3 דוגמה ראשונה) ולפי מספר המונחים שהם מכילים, כגון מונומיות (מונח אחד), בינומים (שני מונחים) וטרינומים (שלושה תנאים).
הוספה והפחתה של פולינומים
הוספה וחיסור של פולינומים תלוי בשילוב מונחים "כמו". מונח דומה הוא מונח עם אותם משתנים ומעריכים כמו אחר, אך המספר שהם מוכפלים בו (המקדם) יכול להיות שונה. לדוגמה,
איקס2 ו -4איקס 2 הם כמו מונחים מכיוון שיש להם אותו משתנה ומעריך, ו -2xy 4 ו 6xy 4 הם כמו מונחים גם כן. למרות זאת,איקס2, איקס3, איקס2y2 וy2 אינם כמו מונחים, מכיוון שכל אחד מהם מכיל שילובים שונים של משתנים ומעריכים.הוסף פולינומים על ידי שילוב של מונחים דומים באותו אופן שהיית עושה עם מונחים אלגבריים אחרים. לדוגמה, בדוק את הבעיה:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
אסוף את התנאים כמו לקבל:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
ואז הערך על ידי פשוט הוספת המקדמים ושילוב למונח יחיד:
10 x ^ 3 + 5 x + y
שים לב שאתה לא יכול לעשות שום דבר עםyכי אין לו מונח דומה.
חיסור פועל באותו אופן:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
ראשית, שים לב שכל המונחים בסוגריים הימניים מופחתים מהממצאים בסוגר השמאלי, אז כתוב את זה כ:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
שלב מונחים דומים והערך כדי להשיג:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
לבעיה כזו:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
שימו לב שסימן המינוס מוחל על כל הביטוי בסוגריים הימניים, כך ששני הסימנים השליליים לפני 3איקס2 להפוך לסימן תוספת:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
ואז לחשב כמו קודם.
הכפלת ביטויים פולינומיים
הכפל ביטויים פולינומיים באמצעות המאפיין החלוקתי של הכפל. בקיצור, הכפל כל מונח בפולינום הראשון בכל מונח במונח השני. עיין בדוגמה הפשוטה הזו:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
אתה פותר זאת באמצעות המאפיין החלוקתי, כך:
\ התחל {מיושר} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {מיושר}
התמודד עם בעיות מסובכות יותר באותו אופן:
\ התחל {מיושר} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {align}
בעיות אלו עלולות להסתבך בקבוצות גדולות יותר, אך התהליך הבסיסי עדיין זהה.
חלוקת ביטויים פולינומיים
חלוקת ביטויים פולינומיים אורכת זמן רב יותר אך ניתן להתמודד עם זה בשלבים. הביטו בביטוי:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
ראשית, כתוב את הביטוי כמו חלוקה ארוכה, כאשר המחלק משמאל והדיבידנד מימין:
x + 2) \ אוברליין {x ^ 2 - 3 x - 10}
חלק את הקדנציה הראשונה בדיבידנד בקדנציה הראשונה בחלוקה, והניח את התוצאה על הקו מעל החלוקה. במקרה הזה,איקס2 ÷ איקס = איקס, כך:
\ התחל {מיושר} & x \\ x + 2) & \ אוברליין {x ^ 2 - 3 x - 10} \ סוף {מיושר}
הכפל את התוצאה הזו בכל המחלק, כך שבמקרה זה, (איקס + 2) × איקס = איקס2 + 2 איקס. שים את התוצאה הזו מתחת לחטיבה:
\ התחל {מיושר} & x \\ x + 2) & \ אוברליין {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {מיושר}
מחסירים את התוצאה בשורה החדשה מהתנאים ישירות מעליה (שים לב שמבחינה טכנית אתה משנה את הסימן, כך שאם הייתה לך תוצאה שלילית היית מוסיף אותה במקום), ושם את זה בשורה שמתחתיו. הזז את הקדנציה האחרונה גם מהדיבידנד המקורי כלפי מטה.
\ התחל {מיושר} & x \\ x + 2) & \ אוברליין {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ סוף {מיושר}
כעת חזור על התהליך עם המחלק והפולינומי החדש בשורה התחתונה. אז חלק את המונח הראשון של המחלק (איקס) לפי הקדנציה הראשונה של הדיבידנד (-5איקס) ושם את זה למעלה:
\ התחל {מיושר} & x -5 \\ x + 2) & \ קו-קו {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ סוף {מיושר}
הכפל תוצאה זו (-5איקס ÷ איקס= -5 על ידי המחלק המקורי (כך (איקס + 2) × −5 = −5 איקס−10) ושם את התוצאה בשורה תחתונה חדשה:
\ התחל {מיושר} & x -5 \\ x + 2) & \ אוברליין {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ סוף {מיושר}
ואז מחסרים את השורה התחתונה מהשורה הבאה למעלה (אז במקרה זה שנה את הסימן והוסיפו), ושמו את התוצאה בשורה תחתונה חדשה:
\ התחל {מיושר} & x -5 \\ x + 2) & \ אוברליין {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {align}
מכיוון שיש בתחתית שורה של אפסים, התהליך הסתיים. אם נותרו מונחים שאינם אפסים, היית חוזר על התהליך שוב. התוצאה היא בשורה העליונה, כך:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
ניתן לפתור את החלוקה הזו ואחרים בצורה פשוטה יותר אם אתה יכול גורם לפולינום בדיבידנד.