שלוש השיטות הנפוצות ביותר לפתרון מערכות משוואה הן החלפה, חיסול ומטריצות מוגדלות. החלפה וחיסול הן שיטות פשוטות שיכולות לפתור ביעילות את רוב המערכות של שתי משוואות בכמה צעדים פשוטים. שיטת המטריצות המוגדלות דורשת יותר שלבים, אך היישום שלה משתרע על מגוון גדול יותר של מערכות.
החלפה
החלפה היא שיטה לפתרון מערכות משוואות על ידי הסרת כל המשתנים למעט אחד באחת המשוואות ואז פיתרון משוואה זו. זה מושג על ידי בידוד המשתנה האחר במשוואה ואז החלפת ערכים למשתנים אלה במשוואה אחרת אחרת. לדוגמא, כדי לפתור את מערכת המשוואות x + y = 4, 2x - 3y = 3, בידוד את המשתנה x בראשון משוואה כדי לקבל x = 4 - y ואז להחליף את הערך הזה של y למשוואה השנייה כדי לקבל 2 (4 - y) - 3y = 3. משוואה זו מפשטת ל- -5y = -5, או y = 1. חבר ערך זה למשוואה השנייה כדי למצוא את הערך של x: x + 1 = 4 או x = 3.
חיסול
חיסול הוא דרך נוספת לפתור מערכות משוואות על ידי שכתוב אחת המשוואות במונחים של משתנה אחד בלבד. שיטת החיסול משיגה זאת על ידי הוספה או חיסור של משוואות זו מזו על מנת לבטל את אחד המשתנים. לדוגמא, הוספת המשוואות x + 2y = 3 ו- 2x - 2y = 3 מניבה משוואה חדשה, 3x = 6 (שימו לב שהמונחים y בוטלו). לאחר מכן נפתרת המערכת באותן שיטות כמו להחלפה. אם אי אפשר לבטל את המשתנים במשוואות, יהיה צורך להכפיל את המשוואה כולה בפקטור כדי שהמקדמים יתאימו.
מטריקס מוגבר
מטריצות מוגדלות יכולות לשמש גם לפיתרון מערכות משוואות. המטריצה המוגדלת מורכבת משורות לכל משוואה, עמודות לכל משתנה ועמודה מוגברת המכילה את המונח הקבוע בצד השני של המשוואה. לדוגמא, המטריצה המוגברת למערכת המשוואות 2x + y = 4, 2x - y = 0 היא [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
קביעת הפיתרון
השלב הבא כולל שימוש בפעולות שורה אלמנטריות כגון הכפלת או חלוקת שורה בקבוע שאינו אפס והוספה או חיסור של שורות. מטרת הפעולות הללו היא להמיר את המטריצה לצורת דרגות שורה, בה הערך הראשון שאינו אפס בכל שורה הוא ערך 1, מעל ומתחת לערך זה כל האפסים, והערך הראשון שאינו אפס לכל שורה נמצא תמיד מימין לכל הערכים הללו בשורות מעל זה. צורת דרג-שורות עבור המטריצה הנ"ל היא [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. הערך של המשתנה הראשון ניתן על ידי השורה הראשונה (1x + 0y = 1 או x = 1). הערך של המשתנה השני ניתן על ידי השורה השנייה (0x + 1y = 2 או y = 2).
יישומים
החלפה וחיסול הן שיטות פשוטות יותר לפתרון משוואות ומשתמשים בהן בתדירות גבוהה הרבה יותר מאשר מטריצות מוגדלות באלגברה בסיסית. שיטת ההחלפה שימושית במיוחד כאשר אחד המשתנים כבר מבודד באחת המשוואות. שיטת החיסול שימושית כאשר המקדם של אחד המשתנים זהה (או המקביל השלילי שלו) בכל המשוואות. היתרון העיקרי של מטריצות מוגדלות הוא בכך שניתן להשתמש בה כדי לפתור מערכות של שלוש משוואות או יותר במצבים שבהם החלפה וחיסול אינן ברות ביצוע או בלתי אפשריות.