טריקים לפקטור משוואות ריבועיות

משוואות ריבועיות הן נוסחאות שניתן לכתוב בצורה Ax ^ 2 + Bx + C = 0. לפעמים, ניתן לפשט משוואה ריבועית על ידי פקטורינג, או ביטוי המשוואה כתוצר של מונחים נפרדים. זה יכול להקל על הפיתרון של המשוואה. לפעמים גורמים יכולים להיות קשים לזיהוי, אך ישנם טריקים שיכולים להקל על התהליך.

בחן את המשוואה הריבועית כדי לקבוע אם יש מספר ו / או משתנה שיכולים לחלק כל מונח במשוואה. לדוגמא, שקול את המשוואה 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. המספר הגדול ביותר שיכול להתחלק באופן שווה לכל מונח של המשוואה הוא 2, ולכן 2 הוא הגורם המשותף הגדול ביותר (GCF).

חלק כל מונח במשוואה ב- GCF, והכפל את המשוואה כולה ב- GCF. במשוואה לדוגמא 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, זה יביא ל- 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

פשט את הביטוי על ידי השלמת החלוקה בכל מונח. לא צריכים להיות שברים במשוואה הסופית. בדוגמה זה יביא ל- 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

בחן את המשוואה הריבועית כדי לראות אם היא בצורה Ax ^ 2 + 0x - C = 0, כאשר A = y ^ 2 ו- C = z ^ 2. אם זה המקרה, המשוואה הריבועית מבטאת את ההבדל בין שני ריבועים. לדוגמא, במשוואה 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 ו- C = 9 = 3 ^ 2, אז y = 2 ו- z = 3.

פקטור את המשוואה בצורה (yx + z) (yx - z) = 0. במשוואה לדוגמא, y = 2 ו- z = 3; לכן המשוואה הריבועית המצורפת היא (2x + 3) (2x - 3) = 0. זו תמיד תהיה הצורה הממוקמת של משוואה ריבועית שהיא הפרש הריבועים.

בחן את המשוואה הריבועית כדי לראות אם מדובר בריבוע מושלם. אם המשוואה הריבועית היא ריבוע מושלם, ניתן לכתוב אותה בצורת y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, כמו המשוואה 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, שניתן לשכתב כ (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. במקרה זה, y = 2x ו- z = 3.

בדוק אם המונח 2yz חיובי. אם המונח חיובי, הגורמים למשוואה הריבועית המושלמת הם תמיד (y + z) (y + z). לדוגמא, במשוואה לעיל, 12x חיובי, ולכן הגורמים הם (2x + 3) (2x + 3) = 0.

בדוק אם המונח 2yz הוא שלילי. אם המונח שלילי, הגורמים הם תמיד (y - z) (y - z). לדוגמא, אם למשוואה שלמעלה היה מונח -12x במקום 12x, הגורמים יהיו (2x - 3) (2x - 3) = 0.

הגדר את הצורה המצורפת של המשוואה הריבועית על ידי כתיבה (vx + w) (yx + z) = 0. זכור את הכללים להכפלת FOIL (ראשית, בחוץ, בפנים, אחרונה). כיוון שהמונח הראשון של המשוואה הריבועית הוא Ax ^ 2, שני גורמי המשוואה חייבים לכלול x.

לפתור את v ו- y על ידי התחשבות בכל הגורמים של A במשוואה הריבועית. אם A = 1, אז גם v וגם y תמיד יהיו 1. במשוואה לדוגמא x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, כך שניתן לפתור v ו- y במשוואה המצורפת כדי לקבל (1x + w) (1x + z) = 0.

קבע אם w ו- z הם חיוביים או שליליים. הכללים הבאים חלים: C = חיובי ו- B = חיובי; לשני הגורמים סימן + C = חיובי ו- B = שלילי; לשני הגורמים יש - סימן C = שלילי ו- B = חיובי; לפקטור עם הערך הגדול ביותר יש סימן + C = שלילי ו- B = שלילי; לפקטור עם הערך הגדול ביותר יש - סימן במשוואת הדוגמא משלב 2, B = -9 ו- C = +8, אז לשני גורמי המשוואה יהיו - סימנים, ואת המשוואה המצורפת ניתן לכתוב כ (1x - w) (1x - z) = 0.

ערוך רשימה של כל הגורמים של C על מנת למצוא את הערכים עבור w ו- z. בדוגמה שלעיל, C = 8, ולכן הגורמים הם 1 ו- 8, 2 ו -4, -1 ו- -8, ו- -2 ו- -4. הגורמים חייבים להסתכם ב- B, שהוא -9 במשוואה לדוגמא, ולכן w = -1 ו- z = -8 (או להיפך) והמשוואה שלנו עובדת באופן מלא כ- (1x - 1) (1x - 8) = 0.

צמצם את המשוואה לצורה הפשוטה ביותר, בעזרת שיטת ה- Greatest Common Factor המפורטת לעיל. לדוגמא, במשוואה 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, ה- GCF הוא 9, ולכן המשוואה מפשטת ל- 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

צייר קופסה וחלק אותה לטבלה עם שתי שורות ושתי עמודות. שים את Ax ^ 2 של המשוואה הפשוטה בשורה 1, עמודה 1 ו- C של המשוואה הפשוטה בשורה 2, עמודה 2.

הכפל A ב- C, ומצא את כל הגורמים של המוצר. בדוגמה לעיל, A = 1 ו- C = -10, כך שהמוצר הוא (1) (- 10) = -10. הגורמים -10 הם -1 ו -10, -2 ו -5, 1 ו- -10, ו- 2 ו- -5.

זהה אילו מהגורמים של המוצר AC מצטברים ל- B. בדוגמה, B = 3. הגורמים של -10 המצטברים עד 3 הם -2 ו -5.

הכפל כל אחד מהגורמים המזוהים ב- x. בדוגמה שלעיל זה יביא ל -2x ו -5x. שים את שני המונחים החדשים בשני החללים הריקים בתרשים, כך שהטבלה תראה כך:

x ^ 2 | פי 5

-2x | -10

מצא את ה- GCF עבור כל שורה ועמודה בתיבה. בדוגמה, ה- CGF בשורה העליונה הוא x, ובשורה התחתונה הוא -2. ה- GCF עבור העמודה הראשונה הוא x, והעמודה השנייה היא 5.

כתוב את המשוואה המצורפת בצורה (w + v) (y + z) תוך שימוש בגורמים שזוהו משורות התרשים w ו- v, והגורמים שזוהו בעמודות התרשים עבור y ו- z. אם המשוואה הופשטה בשלב 1, זכור לכלול את ה- GCF של המשוואה בביטוי המפעל. במקרה של הדוגמה, המשוואה המצורפת תהיה 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

ודא שהמשוואה נמצאת בצורה ריבועית סטנדרטית לפני שתתחיל באחת מהשיטות המתוארות.

לא תמיד קל לזהות ריבוע מושלם או הבדל ריבועים מושלם. אם אתה יכול לראות במהירות שהמשוואה הריבועית שאתה מנסה לגרום היא באחת מהצורות האלה, אז זה יכול להיות עזרה גדולה. עם זאת, אל תשקיע זמן רב בניסיון להבין זאת, מכיוון שהשיטות האחרות יכולות להיות מהירות יותר.

בדוק תמיד את עבודתך על ידי הכפלת הגורמים בשיטת FOIL. הגורמים צריכים תמיד להכפיל חזרה למשוואה הריבועית המקורית.