סוגי משוואות אלגברה

ישנם חמישה סוגים עיקריים של משוואות אלגבריות, הנבדלים על ידי מיקום המשתנים, סוגי המפעילים והפונקציות המשמשים והתנהגות הגרפים שלהם. לכל סוג משוואה קלט צפוי שונה ומייצר פלט עם פרשנות שונה. ההבדלים והדמיון בין חמשת סוגי המשוואות האלגבריות והשימושים בהן מדגימים את המגוון והעוצמה של פעולות אלגבריות.

מונונומים ופולינומים הם משוואות המורכבות ממונחים משתנים עם מעריכים שלמים. פולינומים מסווגים לפי מספר המונחים בביטוי: מונונומים מונח אחד, בינומים שני מונחים, טרינומים שלושה מונחים. כל ביטוי בעל יותר ממונח אחד נקרא פולינום. פולינומים מסווגים גם לפי דרגות, שהוא מספר המעריך הגבוה ביותר בביטוי. פולינומים עם מעלות א ', שתיים ושלוש נקראים פולינומים לינאריים, ריבועיים וקוביים בהתאמה. המשוואה x ^ 2 - x - 3 נקראת טרינום ריבועי. משוואות ריבועיות נפוצות בדרך כלל באלגברה I ו- II; הגרף שלהם, המכונה פרבולה, מתאר את הקשת שעוקבת אחר קליע שנורה לאוויר.

משוואות אקספוננציאליות נבדלות מפולינומים בכך שיש להן מונחים משתנים במעריכים. דוגמה למשוואה אקספוננציאלית היא y = 3 ^ (x - 4) + 6. פונקציות אקספוננציאליות מסווגות כצמיחה אקספוננציאלית אם למשתנה הבלתי תלוי מקדם חיובי וריקבון מעריכי אם יש לו מקדם שלילי. משוואות צמיחה אקספוננציאליות משמשות לתיאור התפשטות האוכלוסיות והמחלות וכן מושגים פיננסיים כגון ריבית דריבית (הנוסחה לריבית דריבית היא Pe ^ (rt), כאשר P הוא הקרן, r הוא הריבית ו- t הוא הסכום של זמן). משוואות ריקבון אקספוננציאליות מתארות תופעות כמו ריקבון רדיואקטיבי.

פונקציות לוגריתמיות הן ההפך של פונקציות מעריכיות. למשוואה y = 2 ^ x, הפונקציה ההפוכה היא y = log2 x. בסיס היומן b של מספר x שווה למעריך שעליו להעלות את b כדי לקבל את המספר x. לדוגמה, ה- log2 של 16 הוא 4 מכיוון ש -2 עד הכוח הרביעי הוא 16. המספר הטרנסצנדנטי "e" משמש לרוב כבסיס הלוגריתמי; בסיס הלוגריתם e נקרא לעתים קרובות הלוגריתם הטבעי. משוואות לוגריתמיות משמשות בסוגים רבים של סולמות עוצמה, כמו סולם ריכטר לרעידות אדמה וסולם הדציבלים לעוצמת הקול. סולם הדציבלים משתמש בבסיס יומן 10, כלומר גידול של דציבל אחד מתאים לעלייה פי עשרה בעוצמת הקול.

משוואות רציונליות הן משוואות אלגבריות של הצורה p (x) / q (x), כאשר p (x) ו- q (x) שניהם פולינומים. דוגמה למשוואה רציונלית היא (x - 4) / (x ^ 2 - 5x + 4). משוואות רציונליות ראויות לציון שיש אסימפטוטות, שהן ערכים של y ו- x שהגרף של המשוואה מתקרב אך לעולם אינו מגיע אליו. אסימפטוטה אנכית של משוואה רציונלית היא ערך x שהגרף לא מגיע אליו לעולם - ערך ה- y הולך לאינסוף חיובי או שלילי כאשר הערך של x מתקרב לאסימפטוטה. אסימפטוטה אופקית היא ערך y שהגרף מתקרב אליו כאשר x הולך לאינסוף חיובי או שלילי.

משוואות טריגונומטריות מכילות את הפונקציות הטריגונומטריות sin, cos, tan, sec, csc ו cot. פונקציות טריגונומטריות מתארות את היחס בין שני צדי משולש ימני, תוך לקיחת מדד הזווית כמשתנה קלט או משתנה בלתי תלוי והיחס כמשתנה פלט או משתנה תלוי. לדוגמא, y = sin x מתאר את היחס בין צלעו הנגדית של משולש ימין להיפותנוז עבור זווית מידה x. פונקציות טריגונומטריות נבדלות בכך שהן תקופתיות, כלומר הגרף חוזר על עצמו לאחר פרק זמן מסוים. הגרף של גל סינוס רגיל הוא בעל תקופה של 360 מעלות.