כל סטודנט לאלגברה ברמות גבוהות יותר צריך ללמוד לפתור משוואות ריבועיות. אלה סוג של משוואת פולינום הכוללת כוח של 2 אך אף לא גבוהה יותר, ויש להם את הצורה הכללית:גַרזֶן2 + bx + ג= 0. באפשרותך לפתור אותם באמצעות נוסחת המשוואה הריבועית, על ידי פקטוריזציה או על ידי השלמת הריבוע.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
ראשית חפש פקטוריזציה לפתרון המשוואה. אם אין אחד מלבד הבמקדם מתחלק ב -2, השלם את הריבוע. אם אף אחת מהגישות אינה קלה, השתמש בנוסחת המשוואה הריבועית.
שימוש בפקטוריזציה לפתרון המשוואה
פקטורציה מנצלת את העובדה שהצד הימני של המשוואה הריבועית הסטנדרטית שווה לאפס. פירוש הדבר שאם אתה יכול לפצל את המשוואה לשני מונחים בסוגריים המוכפלים זה בזה, תוכל לפתור את הפתרונות על ידי מחשבה מה יגרום לכל סוגר להיות שווה לאפס. כדי לתת דוגמה קונקרטית:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
השווה זאת לטופס הסטנדרטי:
ax ^ 2 + bx + c = 0
בדוגמה,א = 1, ב= 6 וג= 9. האתגר של פקטורציה הוא למצוא שני מספרים המצטרפים יחד כדי לתת את המספר בבלאתר ולהכפיל יחד כדי לקבל את המספר במקוםג.
אז, מייצג את המספרים לפידוהאתה מחפש מספרים המספקים:
d + e = b
או במקרה זה, עםב = 6:
d + e = 6
וגם
d × e = c
או במקרה זה, עםג = 9:
d × e = 9
התמקדו במציאת מספרים שהם גורמים שלגואז הוסיפו אותם יחד כדי לראות אם הם שוויםב. כשיש לך את המספרים שלך, שים אותם בתבנית הבאה:
(x + d) (x + e)
בדוגמה שלעיל, שניהםדוההם 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
אם תכפיל את הסוגריים, תסיים שוב את הביטוי המקורי, וזה נוהג טוב לבדוק את הפקטוריזציה שלך. אתה יכול לעבור את התהליך הזה (על ידי הכפלת החלקים הראשונים, הפנימיים, החיצוניים ואז האחרונים בסוגריים - ראה משאבים לפרטים נוספים) כדי לראות אותו הפוך:
\ התחל {מיושר} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ סוף {מיושר}
פקטוריזציה עוברת למעשה את התהליך הזה לאחור, אבל זה יכול להיות מאתגר לעבד את ה הדרך הנכונה לפקטור המשוואה הריבועית, ושיטה זו אינה אידיאלית לכל משוואה ריבועית לכך סיבה. לעתים קרובות אתה צריך לנחש על פקטוריזציה ואז לבדוק את זה.
הבעיה גורמת כעת לכך שאחד מהביטויים בסוגריים יוצא לאפס שווה באמצעות בחירת הערך שלך עבוראיקס. אם אחד הסוגריים שווה לאפס, כל המשוואה שווה לאפס, ומצאת פיתרון. תסתכל על השלב האחרון [((איקס + 3) (איקס+ 3) = 0] ותראה שהפעם היחידה שהסוגריים יוצאים לאפס היא אםאיקס= −3. ברוב המקרים, לעומת זאת, למשוואות ריבועיות יש שני פתרונות.
פקטורציה מאתגרת עוד יותר אםאאינו שווה לאחד, אך התמקדות במקרים פשוטים עדיפה בהתחלה.
השלמת הכיכר לפתרון המשוואה
השלמת הריבוע עוזרת לך לפתור משוואות ריבועיות שלא ניתן לפקטור בקלות. שיטה זו יכולה לעבוד בכל משוואה ריבועית, אך משוואות מסוימות מתאימות לה יותר מאחרות. הגישה כוללת הפיכת הביטוי לריבוע מושלם ופתרון זה. ריבוע מושלם כללי מתרחב כך:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
כדי לפתור משוואה ריבועית על ידי השלמת הריבוע, קבל את הביטוי לצורה בצד ימין של האמור לעיל. ראשית חלק את המספר בבמקם לפי 2 ואז מרובע את התוצאה. אז למשוואה:
x ^ 2 + 8x = 0
המקדםב= 8, אזב÷ 2 = 4 ו- (ב ÷ 2)2 = 16.
הוסף זאת לשני הצדדים כדי להשיג:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
שימו לב שטופס זה תואם את הטופס הריבועי המושלם, עםד= 4, אז 2ד= 8 וד2 = 16. זה אומר ש:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
הכנס זאת למשוואה הקודמת כדי לקבל:
(x + 4) ^ 2 = 16
עכשיו פתר את המשוואה עבוראיקס. קח את השורש הריבועי של שני הצדדים כדי להשיג:
x + 4 = \ sqrt {16}
מחסרים 4 משני הצדדים כדי להשיג:
x = \ sqrt {16} - 4
השורש יכול להיות חיובי או שלילי, ולקיחת השורש השלילי נותנת:
x = -4 - 4 = -8
מצא את הפיתרון האחר עם השורש החיובי:
x = 4 - 4 = 0
לכן הפתרון היחיד שאינו אפס הוא −8. בדוק זאת עם הביטוי המקורי כדי לאשר.
שימוש בנוסחה הרביעית לפתרון המשוואה
נוסחת המשוואה הריבועית נראית מסובכת יותר משאר השיטות, אך זו השיטה האמינה ביותר, ותוכלו להשתמש בה בכל משוואה ריבועית. המשוואה משתמשת בסמלים מהמשוואה הריבועית הסטנדרטית:
ax ^ 2 + bx + c = 0
וקובע כי:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
הכנס את המספרים המתאימים למקומותיהם ועבד דרך הנוסחה לפיתרון, וזכור לנסות גם לחסר וגם להוסיף את מונח השורש הריבועי ולציין את שתי התשובות. לדוגמא הבאה:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
יש לךא = 1, ב= 6 וג= 5. אז הנוסחה נותנת:
\ התחל {מיושר} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {align}
לקיחת הסימן החיובי נותנת:
\ התחל {align} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {align}
ולקיחת הסימן השלילי נותנת:
\ התחל {align} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {align}
אילו הם שני הפתרונות למשוואה.
כיצד לקבוע את השיטה הטובה ביותר לפתרון משוואות ריבועיות
חפש פקטוריזציה לפני שתנסה משהו אחר. אם אתה יכול לזהות אחת כזו, זו הדרך המהירה והקלה ביותר לפתור משוואה ריבועית. זכור שאתה מחפש שני מספרים המסכמים אתבמקדם והכפל כדי לתת אתגמְקַדֵם. למשוואה זו:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
אתה יכול לזהות ש -2 + 3 = 5 ו- 2 × 3 = 6, אז:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
וגםאיקס= −2 אואיקס = −3.
אם אינך יכול לראות פקטורציה, בדוק אם ה-בניתן לחלק את המקדם ב -2 מבלי לנקוט בשברים. אם כן, השלמת הריבוע היא כנראה הדרך הקלה ביותר לפתור את המשוואה.
אם אף אחת מהגישות לא נראית מתאימה, השתמש בנוסחה. זו נראית כמו הגישה הקשה ביותר, אך אם אתה בבחינה או דחוף אחר זמן, זה יכול להפוך את התהליך להרבה פחות מלחיץ והרבה יותר מהיר.